Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек , , и на плоскости: ,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки , , и лежат на одной окружности (тождество Птолемея). Доказано Клавдием Птолемеем в «Альмагесте».
Простейшее доказательство получается с использованием свойств комплексных чисел с использованием неравенства треугольника. Один из вариантов доказательства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек , , Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии . Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.. Существует способ доказательства через прямую Симсона. Близкий к птолемеевскому доказательству способ — ввести точку такую, что , после чего установить подобие треугольников. Также утверждение является следствием из соотношения Бретшнайдера.
Следствия, вариации и обобщения Среди многочисленных непосредственных следствий — теорема ПомпеюО теореме Д. Помпейю . Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО, теорема ван Схотена и формула Карно. Если — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы — именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
Тождество Птолемея является непосредственным следствием соотношения Бретшнайдера.
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть произвольны точек плоскости (теорема Птолемея для шестиугольника, теорема Фурмана)): ,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда — вписанный шестиугольник.
Теорема Кейси (также известная как обобщённая теорема Птолемея) формулируется для четырёх окружностей, касающихся данной окружности в вершинах выпуклого четырёхугольника, при радиусе окружностей, равном нулю, обращается в тождество Птолемея.
Граф Птолемея — граф, в котором расстояния по кратчайшему пути удовлетворяют неравенству Птолемея.
Примечания
Литература
Категория:Неравенства П