Симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметрическую функцию от n переменных.

Антисимметризация преобразует любую функцию от n переменных в антисимметрическую функцию.

Две переменные Пусть — множество, а — абелева группа. Если задано отображение , называется симметрическим отображением, если .

Симметризация отображения — это отображение .

Антисимметризация или кососимметризация отображения — это отображение .

Сумма симметризации и антисеммитризации отображения α равна 2α. Таким образом, если кольцо допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению), как например, вещественные числа, любую функцию можно представить как сумму симметрической и антисимметрической функций.

Симметризация симметрического отображения равносильна его удвоению, тогда как симметризация равна нулю. Аналогично, антисимметризация симметрического отображения равна нулю, в то время как антисимметризация знакопеременного отображения равносильна его удвоению.

Билинейные формы Симметризация и антисимметризация билинейного отображения являются билинейными отображениям. Если кольцо допускает деление на 2, любая билинейная форма является суммой симметрической формы и кососимметрической и нет разницы между симметрическими и квадратичными формами.

Если кольцо не допускает деление на 2, не всякую форму можно разложить на симметрическую и кососимметрическую. Так, например, над целыми числами связанная симметрическая форма (над рациональными числами) может использовать половинки целых значений, в то время как над функция кососимметрическая тогда и только тогда, когда она cимметрическая (так как ).

Это ведёт к понятию и ε-симметрических форм.

Теория представлений В терминах теории представлений: перестановка переменных даёт представление симметрической группы в пространстве функций от двух переменных, симметрические и антисимметрические функции являются подпредставлениями, соответствующими и знаковому представлению симметризация и антисимметризация отображает функцию в эти подпредставления и, если кольцо допускает деление на 2, это даёт проекции.

Поскольку симметрическая группа порядка 2 равна циклической группе порядка 2 (), это соответствует дискретному преобразованию Фурье порядка 2.

n переменных В более общем случае, если дана функция от n переменных, можно её симметризовать путём взятия суммы по всем перестановкам переменных или антисимметризовать путём взятия суммы по всем чётным перестановкам и вычитания из неё суммы всех нечётных перестановок (за исключением случая , когда имеется единственная перестановка, так что число перестановок нечётно).

В этом случае симметризация (соответственно, антисимметризация) симметрической функции умножается на . Таким образом, если кольцо допускает деление на , как бывает в случае поля характеристики или , это даёт проекции, если разделить на .

В терминах теории представлений имеются подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому, но для случая существую и другие — см. и Симметрический многочлен.

Бутстрэп Если задана функция от k переменных, можно получить симметрическую функцию от n переменных путём взятия суммы над подмножествами из k переменных. В статистике это называется бутстрэпом, а ассоциированные статистики называются .

Примечания

Литература

Ссылки

Категория:Симметрические функции