Геометрия Галуа (названа именем французского математика 19-го века Эвариста Галуа) — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями (или полями Галуа)Galois geometry в Энциклопедии Математики. В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем"Проективные пространства над конечными полями, известные также как геометрии Галуа, ...", .
Введение Объектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, , овалы, гиперовалы, , , овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.
Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа . Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на .
В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии Галуа.
называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, Например, при проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве где - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы на С.А.Евдокимов, И.Н.Пономаренко, Схемы отношений конечной проективной плоскости и их расширения, Алгебра и анализ, 2009, том 21, выпуск 1, 90-132.
См. также Проективная геометрия Геометрия инцидентности Соответствие Галуа
Примечания
Литература
Категория:Конечная геометрия Категория:Конечные поля Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Аналитическая геометрия