Геометрический род — это базовый алгебраических многообразий и комплексных многообразий.
Определение Геометрический род может быть определён для комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий, как число Ходжа (равное согласно двойственности Серра), то есть, как размерность канонической линейной системы плюс единица.
Другими словами, для многообразия это значение равно числу линейно независимых голоморфных -форм на многообразии . Это определение как размерность пространства:
переносится на любое базовое поле, если брать как пучок кэлеровых дифференциалов, а степень равна внешнему произведению, каноническому линейному расслоению.
Геометрический род является первым инвариантом последовательности инвариантов , носящих название (или кратный род).
Случай кривых В случае комплексных многообразий неособые кривые являются римановыми поверхностями. Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода. На неособой кривой каноническое линейное расслоение имеет степень .
Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей) и формуле Римана — Гурвица. По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род:
где s — число особых точек, подсчитанное нужным образом.
Если является неприводимой (и гладкой) поверхностью в , определяемой полиномиальным уравнением степени , то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра , так что по каноническое линейное расслоение поверхности задаётся равенством: .
Род особых многообразий Определение геометрического рода переносится классическим образом на особые кривые путём констатации, что является геометрическим родом нормализации . То есть, поскольку отображение является бирациональным, определение расширяется бирациональным инвариантом.
См. также
Инварианты поверхностей
Примечания
Литература
Категория:Алгебраические многообразия