Факторно делимая абелева группа () — абелева группа , которая не содержит подгрупп вида , но содержит свободную подгруппу конечного ранга, такую что — делимая периодическая группа.
Всякий базис свободной группы называется базисом факторно делимой группы .
Примеры Любая свободная абелева группа конечного ранга (то есть группа вида ) и любая делимая абелева группа без кручения конечного ранга (то есть группа вида ) являются факторно делимыми. Группа вида является факторно делимой. Абелева группа без кручения ранга 1 является факторно делимой тогда и только тогда, когда имеет идемпотентный тип.
История Впервые факторно делимые группы были введены Бомоном и Пирсом в 1961 году в классе абелевых групп без кручения. В 1998 году Уиклесс и Фомин обобщили это понятие на случай смешанных абелевых групп.
Они доказали, что категория факторно делимых групп с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов двойственна категории абелевых групп без кручения конечного ранга с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов.
Факторно делимые группы ранга 1 Пусть — произвольное простое число. Число называется -ковысотой элемента абелевой группы , если — наименьшее целое неотрицательное число, такое что делится в группе на любую натуральную степень числа . Если такого числа не существует, то говорят, что элемент имеет бесконечную -ковысоту.
Последовательность -ковысот элемента , занумерованную простыми индексами, называется кохарактеристикой элемента и обозначается .
Пусть — факторно делимая группа ранга 1 и — некоторый ее базисный элемент, то есть — делимая периодическая группа. Тогда для любого элемента ; для любого другого базисного элемента .
В связи с этим кохарактеристикой факторно делемой группы ранга 1 называют кохарактеристику любого ее базисного элемента.
Теорема: Две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики совпадают.
Примечания
Литература
Категория:Свойства групп Категория:Теория абелевых групп