Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины не может быть меньше .
Теорема доказана Вернером Фенхелем.W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven, Mathematische Annalen 101: 238—252.
О доказательстве Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.
Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше , длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.
Вариации и обобщения Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая подходит к своей хорде под углами и , то поворот кривой хотя бы . Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.
Теорема Фари — Милнора
Теорема о повороте плоской кривой
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия кривых