Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.
Определение
Вариация поворота кривой на плоскости или в пространстве определяется как точная верхняя грань суммы внешних углов вписанной в ломаной.
В случае если кривая замкнута, вписанная ломаная также предполагается замкнутой.
Замечания Если гладкая кривая, параметризованная длиной, — её кривизна, то вариация поворота равна интегралу модуля кривизны:
Вариация поворота гладкой регулярной кривой можно также определить как длину её касательной индикатрисы; то есть кривой образованной единичными касательными векторами .
Свойства
Теорема Фенхеля о повороте кривой: Вариация поворота любой замкнутой кривой не менее . Более того, в случае равенства кривая является плоской и выпуклой. Теорема Фари — Милнора о повороте узла: Вариация поворота любого узла больше . Неравенство ДНК. Если замкнутая плоская кривая лежит в выпуклой фигуре с периметром то её длина не превосходит её вариацию поворота. Теорема Усова о геодезической: Вариация поворота геодезической на графике выпуклой функции не превосходит её удвоенной константы Липшица.В. В. Усов. "О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности." Сибирский математический журнал 17.1 (1976), с. 233—236 Угловая длина замкнутой кривой относительно произвольной точки не превосходит её вариации поворота. Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.
Вариации и обобщения Для плоских кривых, у кривизны можно определить знак и определить поворот кривой как интеграл кривизны с знаком. Теорема о повороте кривой является дифференциальногеометрическим аналогом теоремы о сумме углов многоугольника.
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия кривых