Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву.
Определение Пусть — группа.
Аддитивная энергия множеств и обозначается как и равнаМ. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4 (394), стр. 25 (по нумерации на страницах) количеству решений следующего уравнения:
Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество решений уравнения:
Экстремальные значения Своего наименьшего значения достигает, когда все суммы различны (т.к., тогда уравнение выполняется только при ) — например, когда и — множество различных образующих группы из какого-то минимального порождающего множества. Тогда
Наибольшее значение достигается, когда и является подгруппой . В этом случае для любого число решений уравнения равно , так что
Соответственно, промежуточные величины порядка роста между и можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры к структуре подгруппы. Для некоторых групп определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп внутри (или какого-то производного от него множества) и о вложимости (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы .Лекции лаборатории Чебышёва, курс «Аддитивная комбинаторика» (Фёдор Петров), лекция 6, с момента 1:11:30 Ограничения на для этих теорем связаны с показателем кручения группы и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.
Основные свойства
, где
Для кольца вычетов по простому модулю аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим . Тогда
Приложения Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств , в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.
Старшие энергии
Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:
Они называются старшими энергиями и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию. Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Stronger sum-product inequalities for small sets", с. 5, следствие 7 В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.
Для параметра в иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).
См. также Теорема сумм-произведений Структурная теорема Чанг
Литература
Примечания
Категория:Теория групп Категория:Арифметическая комбинаторика