Группа бордюра — это математическое понятие, используемое для классификации согласно симметриям узоров на двумерных поверхностях, повторяющихся в одном направлении. Такие узоры встречаются часто в архитектуре и декоративном искусстве. Математическое изучение таких узоров показывает, что существует в точности семь типов симметрии.
Группы бордюра являются двумерными , имеющими повторение лишь в одном направлении. Они связаны с более сложными группами орнамента, которые классифицируют узоры, повторяющиеся в двух направлениях, и кристаллографическими группами, которые классифицируют узоры, повторяющиеся в трёх направлениях.
Общее описание +Семь групп бордюров p1: T (только параллельный перенос в горизонтальном направлении) p1m1: TV (параллельный перенос с симметрией относительно вертикальной оси) p11m: THG (параллельный перенос, симметрия относительно горизонтальной оси и скользящая симметрия) p11g: TG (параллельный перенос и скользящая симметрия) p2: TR (параллельный перенос и поворот на ) p2mg: TRVG (параллельный перенос и поворот на , симметрия относительно вертикальной оси и скользящая симметрия) p2mm: TRHVG (параллельный перенос, поворот на , симметрия относительно горизонтальной оси, симметрия относительно вертикальной оси и скользящая симметрия) Формально, группа бордюра — это класс бесконечных дискретных групп симметрии узоров на ленте (бесконечно широком прямоугольнике), а следовательно, это класс групп движений на плоскости или ленте. Группа симметрии группы бордюра необходимым образом содержит параллельные переносы и могут содержать скользящие симметрии, отражения вдоль оси ленты, отражения поперёк оси ленты и вращения на . Существует семь групп бордюра, они показаны ниже в таблице. Многие авторы перечисляют группы бордюра в другом порядке.
Фактические группы симметрии внутри группы бордюра характеризуются наименьшим расстоянием параллельного переноса и, для групп бордюра с вертикальной симметрией или поворотом на (группы 2, 5, 6 и 7), местоположением оси симметрии или центра поворота. В случае групп симметрии на плоскости дополнительными параметрами являются направление вектора переноса и, для групп бордюра с горизонтальной осью симметрии, скользящая симметрия, или поворот на (группы 3-7), положение оси отражения или центра вращения. Таким образом, имеется две степени свободы для группы 1, три для групп 2, 3, 4 и четыре для групп 5, 6 и 7.
Для двух из семи групп бордюра (группы 1 и 4) группы симметрии порождаются одним элементом, для четырёх групп (группы 2, 3, 5 и 6) они порождаются двумя генераторами, а для группы 7 группы симметрии требуют три генератора. Группа симметрии в группах бордюров 1, 2, 3 или 5 является подгруппой группы симметрии последней группы бордюра с тем же расстоянием параллельного переноса. Группа симметрии в группах бордюра 4 и 6 является подгруппой группы симметрии последней группы бордюра с половинным расстоянием параллельного переноса. Последняя группа обоев содержит группу симметрии простейшего периодического узора на полосе (или плоскости) — последовательности точек. Любое преобразование плоскости, оставляющее нетронутым этот узор, может быть разложено на параллельный перенос (x,y) → (n+x,y) и, возможно, отражение относительно горизонтальной оси (x,y) → (x,−y) или вертикальной оси (x,y) → (−x,y) в предположении, что оси выбраны посередине двух соседних точек, или вращение на угол , (x,y) → (−x,−y). Таким образом, группа бордюра содержит «наибольшую» группу симметрии, которая состоит из всех этих преобразований.
Требование дискретности вводится для исключения групп, содержащих все преобразования и групп, содержащих произвольно малые параллельные переносы (например, группы горизонтального переноса на любое рациональное расстояние).
Требование бесконечности вводится для исключения групп, не имеющих параллельного переноса: группа только с из тождественным движением (изоморфна C1, тривиальная группа порядка 1). группа, состоящая из тождественного движения и отражения относительно горизонтальной оси (изоморфна C2, циклическая группа порядка 2). группы, состоящие из тождественного движения и отражения относительно вертикальной оси группы, состоящие из тождественного движения и поворота на вокруг точки, находящейся на горизонтальной оси группы, состоящие из тождественного движения и отражения относительно вертикальной оси, отражения относительно горизонтальной оси и поворота на вокруг точки пересечения этих осей (изоморфна четверной группе Клейна)
Описание семи групп бордюра Существует семь различных подгрупп (с точностью до масштаба) в группе дискретных бордюров, генерируемых параллельным переносом, отражением (вдоль оси бордюра) и поворотом на . Каждая из этих подгрупп является группой симметрии бордюра и простые бордюры показаны на рис. 1. Семь различных групп соответствуют семи бесконечным сериям групп осевой симметрии трёхмерного пространства, с .
Группы бордюра обозначаются с использованием нотации Германа — Могена, международной кристаллографической нотации, , и с помощью символов Шёнфлиса:
Как мы видим, с точностью до изоморфизма, существует четыре группы, две абелевы, и две неабелевы.
Типы решёток: наклонная и прямоугольная Группы можно классифицировать по типу их двумерной решётки. Наклонная решётка означает, что второе направление не обязательно ортогонально направлению повторения. Тип решётки ГруппыНаклонныеp1, p2Прямоугольныеp1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg
Веб-демонстрации и программное обеспечение Существуют программные графические инструменты, создающие двумерные узоры с помощью групп бордюра. Обычно весь узор обновляется автоматически при редактировании фрагмента. Kali , Свободное приложение для обоев, бордюров и других узоров. Kali , свободно загружаемая программа Kali для Windows и Mac Classic. Tess , Программа (nagware) замощения для различных платформ, поддерживающая обои, бордюры, а также мозаик Хееша. FriezingWorkz , свободно распространяемый стек (приложение для Hypercard) для HyperCard для платформы Classic Mac, поддерживающий группы бордюра.
Примечания
Литература
Ссылки Frieze Patterns на cut-the-knot Illuminations: Frieze Patterns
Категория:Дискретные группы Категория:Евклидовы симметрии Категория:Теория орнамента