Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Рассматривается как часть общей алгебры, и как самостоятельный раздел, занимающий одно из центральных мест в современной математике, начиная со второй половины XX века замещающий в абстрактных разделах теорию множеств, и становящийся общим инструментальным средством, связующим различные ветви математики. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры целиком опирается на понятия и результаты теории категорий. Также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике.

Основные положения теории заложены в 1942—1945 годы Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом; широкое распространение теории в 1950-е годы связано, прежде всего, с работами Александра Гротендика, фактически переформулировавшего на языке категорий алгебраическую геометрию и за счёт этого глубоко обобщённые результаты, начиная с 1960-х годов отмечено распространение теории на все разделы математики и построение приложений.

Определение Категория  — это: класс объектов ; для каждой пары объектов , задано множество морфизмов (или стрелок) , причём каждому морфизму соответствуют единственные и ; для пары морфизмов и определена композиция ; для каждого объекта задан тождественный морфизм ; причём выполняются две аксиомы: операция композиции ассоциативна: и тождественный морфизм действует тривиально: для

Малая категория

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория , в которой является множеством и (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуруJ. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats , — New York: John Wiley and Sons, — 1990.. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий Одна из чаще всего рассматриваемых категорий — категория множеств , её объектами являются множества, морфизмами — отображения множеств.

Объектами категории групп являются группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп — отображения, сохраняющие групповую структуру. Категория абелевых групп (являющаяся полной подкатегорией категории групп) подтолкнула к формированию понятия абелевой категории — категории, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают удобными свойствами, благодаря ему удалось объединить теорию когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теорию когомологий групп. В дальнейшем установлено, что любая малая абелева категория вкладывается в некоторую категорию модулей  — левых унитарных модулей над некоторым кольцом (теорема Фрейда — Митчелла о вложении).

Категория модулей над полем образует категорию векторных пространств , объекты которой — векторные пространства над , а линейные отображения между ними составляют её множество морфизмов. Категория топологических пространств строится над топологическими пространствами как объектами и непрерывными отображениями между ними как морфизмами. Морфизмы категории метрических пространств  — короткие отображения между метрическими пространствами.

Симплициальная категория в качестве объектов содержит непустые конечные ординалы, её морфизмы — монотонные отображения. Кроме того, для любого частично упорядоченного множества (и вообще для любого предпорядка) можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами и существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда .

Коммутативные диаграммы Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность Для категории можно определить двойственную категорию' , в которой: объекты совпадают с объектами исходной категории; морфизмы получаются «обращением стрелок»:

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (предел и копредел; произведение и копроизведение и так далее).

Свойства морфизмов Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что и . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.

Мономорфизм — морфизм такой, что для любых из следует, что . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — такой морфизм , что для любых из следует . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Начальный и терминальный объекты

Начальный (инициальный, универсально отталкивающий) объект категории — такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — как объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно начальный и терминальный. Например, в категории инициальным объектом является пустое множество , терминальным — любое множество из одного элемента . В категории существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов Произведение (пары) объектов и  — объект с морфизмами и такими, что для любого объекта с морфизмами и существует единственный морфизм такой, что диаграмма:

коммутативна. Морфизмы и называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение объектов и . Соответствующие морфизмы и называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Например, в категории произведение и  — прямое произведение в смысле теории множеств , а сумма — дизъюнктное объединение . В категории колец сумма — это тензорное произведение , а произведение — прямая сумма . В категории (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств .

Естественным образом определяется произведение любого семейства объектов . При этом бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные, например, в то время как конечные произведения и копроизведения в изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения являются произвольные бесконечные последовательности элементов , в то время как элементами бесконечного копроизведения являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее, (ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории объект категории и каждому морфизму морфизм так, что: и .

Контравариантный функтор (кофунктор) можно понимать как ковариантный функтор из в (или из в ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму он сопоставляет морфизм , соответственным образом обращается правило композиции: .

Естественные преобразования

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если и  — ковариантные функторы из категории в , то естественное преобразование сопоставляет каждому объекту категории морфизм таким образом, что для любого морфизма в категории следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что  — изоморфизм для любого .

Специальные классы категорий В ходе развития теории категорий выделены специальные классы категорий, обладающих теми или иными свойствами, среди них — моноидальные категории (обобщающая категории структур, наделённых тензорным произведением), абелевы категории (обладающие свойствами, близкими к категории абелевых групп), элементарные топосы (похожие в определённом смысле на категорию множеств).

Примечания

Литература

Ссылки