Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности . Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b2 = 0 Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S0, S+ и S−, которые являются компактными факторами (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются . Они получаются как фактор по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на .

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти . Эти поверхности являются , что означает, что для них и равна . Как доказали Богомолов, Ли-Яу и Телеман, любая с b2 = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, и поверхности Иноуэ S0, S+ и S−.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже.

Поверхности типа S0 Пусть будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями и вещественным собственным значением c>1, при этом . Тогда обратима в целых числах и определяет действие группы целых чисел на . Пусть . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли ,

действующей на , при этом группа действует на -часть путём переносов, а на -часть как .

Мы расширяем это действие на , положив , где t — параметр -части группы . Действие тривиально на факторе по . Это действие заведомо голоморфно и фактор называется поверхностью Иноуэ типа S0.

Поверхность Иноуэ S0 определяется выбором целочисленной матрицы , с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S+ Пусть n — положительное целое число, а — группа верхних треугольных матриц ,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм , который обозначим . Фактор группы по её центру C — это . Предположим, что действует на как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу , с , действующей на , как . Отождествляя группу верхних треугольных матриц с , мы получим действие на . Определим действие на с действующим тривиально на -часть и действует как . Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа , показывают, что это действие голоморфно. Фактор называется поверхностью Иноуэ типа .

Поверхности типа S− Поверхности Иноуэ типа определяются тем же способом, что и S+, однако два собственных значения a, b автоморфизма , действующего на , имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S+, поверхность Иноуэ типа S− имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S+.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII0 с двумя циклами рациональных кривых.

Примечания

Литература

Категория:Комплексные поверхности