Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил Ри из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает , которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах .

В отличие от групп Штейнберга, группы Ри не задаются точками редуктивной алгебраической группы, определённой над конечным полем. Другими словами, нет никакой «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри таким же образом, каким (скажем) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, так как они используют те же экзотические автоморфизмы диаграммы Дынкина, которые меняют длины корней.

Титс определил группы Ри над бесконечными полями характеристики 2 и 3. Титс и Хи ввели группы Ри бесконечномерных .

Построение Если является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие , в частности, дающие группы со значениями в поле . Эти группы имеют следующие автоморфизмы: Любой автоморфизм поля порождает эндоморфизм группы Любой автоморфизм диаграммы Дынкина порождает автоморфизм группы .

Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X(F)для алгебраического замыкания поля . Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы , в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы и и над полями характеристики 3 группы имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом , связанным с эндоморфизмом Фробениуса поля . Грубо говоря, этот эндоморфизм приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.

Предположим, что поле имеет эндоморфизм , квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: . Тогда группа Ри определяется как группа элементов из , таких что . Если поле совершенно, то и являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции на .

В случае, когда является конечным полем порядка (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2n + 1 нечётно и в этом случае он единственен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B2(22n+1), F4(22n+1) и G2(32n+1), фиксированные по инволюции.

Группы Шевалле, группы Штейнберга и группы Ри Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами , значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма группы , где  — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса . Возможны три случая Для групп Шевалле для некоторого положительного целого n. В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X, определённых конечным полем. Для групп Штейнберга для некоторых положительных целых m и n, при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X, определённой над конечным полем. Для групп Ри, для некоторых положительных целых m, n, при этом m не делит n. На практике m=2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m=2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка с нечётным n и нет соответствующего поля порядка pn/2.

Группы Ри типа 2B2

Группы Ри типа 2B2 первым нашёл Судзуки, используя другой подход, и они обычно называются . Ри заметил, что их можно построить из групп типа B2 при использовании варианта построения Стайнберга. Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F4 и G2, что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.

Группы Ри типа 2G2 Группы Ри типа 2G2(32n+1) ввёл Ри, который показал, что они все просты, за исключением первой группы 2G2(3), которая изоморфна группе автоморфизмов . Уилсон дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 32n+1 элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок , где

Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для 2G2(3).

является циклической и имеет порядок .

Группа Ри иногда обозначается как Ree(q), R(q) или

Группа Ри имеет на точках и действует как автоморфизмы системы Штейнера. Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G2(q).

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и . Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида Янко нашёл спорадическую группу J1. Клейдман обнаружил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа 2G2 исключительно трудно описывать. Томпсон изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм . Наконец, Бомбиери использовал , чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера ( и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации Горенстейна, который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. Ангеар дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.

Группы Ри типа 2F4 Группы Ри типа ввёл Ри. Они являются простыми, за исключением первой , для которой Титс показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса. Уилсон дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 22n+1, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри имеет порядок

где . Мультипликатор Шура тривиален. является циклической с порядком .

Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. Титс показал, что все получаются из групп Ри типа .

См. также

Примечания

Литература

Ссылки ATLAS: Ree group R(27)

Категория:Конечные группы