Группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве так, что стабилизатор точки имеет 3 орбитыНе следует путать с группой 3-перестановок, которая представляет перестановки трёх элементов. На русском языке названия групп почти совпадают, на английском языке первая называется rank 3 permutation group, вторая — 3-transposition group.. Изучение этих групп начал Дональд Хигман. Некоторые спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.
Классификация Примитивные группы перестановок ранга 3 распадаются на следующие классы:
Камерон классифицировал группы, такие, что , где цоколь T группы T0 прост, а T0 является 2-транзитивной группой степени . Либек классифицировал группы с регулярными элементарными абелевыми нормальными подгруппами Баннай классифицировал группы, цоколь которых является простой знакопеременной группой Кантор классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой Либек и Саксл классифицировали группы, цоколь которых является простой классической исключительной или спорадической группой
Пример Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то её действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3. Тремя орбитами являются: сама фиксированная пара; пары, имеющие общий элемент с фиксированной парой; пары, не имеющие общих элементов с фиксированной парой.. В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матьё имеют 4-транзитивные действия, а потому принадлежат группам перестановок ранга 3.
Проективная полная линейная группа, действующая на прямые в проективном пространстве размерности как минимум 3, является группой перестановок ранга 3.
Некоторые являются группами перестановок ранга 3 (по действию на перестановки).
Как правило, точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одну из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это даёт некоторые «цепочки» групп перестановок ранга 3, такие как и цепочка, завершающаяся группами Фишера.
Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 перечислены ниже (многие из них взяты из работы Либека и Саксла).
Для каждой строки таблицы ниже, в столбце «размер» число слева от знака равно показателю группы перестановокКогда обсуждается группа перестановок на множестве из n элементов, показатель группы — это число элементов в множестве, т.е. n. Не следует путать с порядком группы. Если G является группой общего вида, пусть означает наименьшее , такое, что G изоморфна подгруппе симметрической группы S. Число называется показателем группы G . См. также Группа перестановок. перестановочной группы для группы перестановок, упомянутой в строке. Сумма справа от знака равно показывает длину трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы означает, что группа перестановок имеет показатель 15 и длины трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.
Группа Стабилизатор точки размер Комментарии15 = 1+6+8Пары точек или множества из 3 блоков по 2 в 6-точечном представлением перестановок; два класса120 = 1+56+63Проективная прямая P1(8); два класса126 = 1+25+100Множество 2 блоков из 5 в естественном 10-точечном представлении перестановок36 = 1+14+21Пары точек в P1(8) 56 = 1+10+45Гиперовалы в P2(4); три класса 117 = 1+36+80Симплектические полярности P3(3); два класса36 = 1+14+2150 = 1+7+42Действие на вершины графа Хоффмана — Синглтона; три класса 162 = 1+56+105Два класса120 = 1+56+63Группа Шевалле типа G2, действующая на алгебру октонионов над GF(2) 1080 = 1+351+728Группа Шевалле типа G2, действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса1408 = 1+567+840Стабилизатор точки является образом линейного представления, получающегося от «понижения» комплексного представления группы Митчела (комплексной группы отражений) по модулю 2; три классаM1155 = 1+18+36Пары точек в 11-точечном представлении перестановокM1266 = 1+20+45Пары точек или пары комплементарных блоков S(5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два классаM2224:A677 = 1+16+60Блоки S(3,6,22)J2100 = 1+36+63; действие на вершины графа Холла — ЯнкоM22100 = 1+22+77Действие на вершины графа Хигмана — СимсаM22176 = 1+70+105Два классаM23253 = 1+42+210Пары точек в 23-точечном представлении перестановокM23253 = 1+112+140Блоки S(4,7,23) 275 = 1+112+162Действие на вершины M24276 = 1+44+231Пары точек в 24-точечном представлении перестановокG2(3) 351 = 1+126+244Два классаG2(4)J2416 = 1+100+315M241288 = 1+495+792Пары комплементарных 12-точечных множеств в 24-точечном представлении перестановок1782 = 1+416+1365G2(4) 2016 = 1+975+10402300 = 1+891+1408Группа Рудвалиса Ru2F4(2)4060 = 1+1755+23043510 = 1+693+281614080 = 1+3159+10920Два класса2.Fi2231671 = 1+3510+28160130816 = 1+32319+98496137632 = 1+28431+109200 'Fi23306936 = 1+31671+275264
Примечания
Литература
Категория:Конечные группы