В математике числом Салема является вещественное целое алгебраическое число , все сопряжённые которого имеют модуль не больше 1 и по крайней мере одно из них имеет единичный модуль. Числа Салема представляют интерес для диофантовых приближений и гармонического анализа. Они названы в честь французского математика Рафаэля Салема.
Свойства Поскольку число Салема имеет сопряжённое число с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть . Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение, точно равное 1. Как следствие, число α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.
Каждое число Салема является числом Перрона (алгебраическим целым числом, большим 1, модуль которого больше, чем у всех его сопряжённых).
Связь с числами Пизо—Виджаярагхавана Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)
значение которого ; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера для неприводимого нециклического полиномаBorwein (2002) p.16.
Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,
все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношениюD. Bailey and D. Broadhurst, A Seventeenth Order Polylogarithm Ladder .
Числа Салема тесно связаны с числами Пизо — Виджаярагхавана (PV-числами). Наименьшим из PV-чисел является единственный вещественный корень полинома 3-й степени
известный как «пластическое число» и приблизительно равный 1,324718. PV-числа можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий способ — это взять минимальный полином P(x) PV-числа степени n и его обратный полином P*(x) (коэффициенты которого, грубо говоря, образуются «отражением» коэффициентов многочлена P(x) относительно xn/2) и решить уравнение
относительно целого n. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и исключая тривиальные множители, можно получить минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, если взять пластическое число, а на месте вышенаписанного плюс-минуса выбрать плюс, то:
и при получим
где многочлен 10-й степени — полином Лемера. Используя бо́льшее значение n, получим семейство многочленов, один из корней которых приближается к пластическому числу. Это можно понять, извлекая радикалы n-й степени обеих сторон уравнения, . Чем больше будет значение n, тем больше x будет приближаться к решению x3 − x − 1 = 0. При выборе положительного знака на месте плюс-минуса корень х приближается к пластическому числу в противоположном направлении. Используя минимальный полином следующего наименьшего PV-числа
который для принимает вид
при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень , который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x4 − x3 − 1 = 0.
Примечания
Литература Chap. 3.
Категория:Алгебраические числа