Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.
Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.
Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях.
Формулировка
Для взаимопростых чисел обозначим через минимальное число в прогрессии вида , являющееся простым.
Существуют такие абсолютные константы , что для любых взаимопростых выполняется
Другие свойства и гипотезы Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что
,
где — функция Эйлера.
Существует также гипотеза, что
Улучшение оценок на показатель L Показатель в оценке иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа , однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.
L ≤ Год публикации Автор 10000 1957 5448 1958 Пан Ченгдонг 777 1965 Chen Jingrun 630 1971 Matti Jutila 550 1970 Matti Jutila 168 1977 Chen Jingrun 80 1977 Matti Jutila 36 1977 20 1981 Сидней Грэхем 17 1979 Chen Jingrun 16 1986 Вонг 13,5 1989 Chen Jingrun и Liu 8 1990 Вонг 5,5 1992 5,18 2009 Xylouris 5 2011 Xylouris
См. также Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
Примечания
Категория:Теория чисел Категория:Аналитическая теория чисел