Теорема Крамера о разложении нормального распределения — утверждение в теории вероятностей. Легко видеть, что если случайные величины и независимы и нормально распределены, то их сумма также нормально распределена. Оказывается, справедливо и обратное утверждение. Этот результат был предвосхищён П. Леви и доказан Г. КрамеромH. Cramér. Über eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. Math. Z. Vol. 41, no. 1 (1936), 405–414.. Следствием этого результата стало возникновение нового направления в теории вероятностей — теории разложений случайных величин на независимые слагаемые (арифметики вероятностных распределений)Ju. V. Linnik, I. V. Ostrovskii. Decomposition of Random Variables and Vectors. Transl. Math. Monogr., Vol. 48, American Mathematical Society, Providence, RI, 1977.. Формулировка теоремы Пусть случайная величина имеет нормальное распределение и представима в виде суммы двух независимых случайных величин . Тогда случайные величины и также нормально распределены.
Доказательство теоремы опирается на теорию целых функций. Обобщение на локально компактные абелевы группы
Следующая теорема даёт полное описание локально компактных абелевых групп, на которых имеет место теорема Крамера о разложении нормального распределения.
ТеоремаG. M. Fel’dman. On the decomposition of Gaussian distributions on groups. Theory Probab. Appl. Vol. 22, No. 1 (1977), 133–140., см. также G.M. Fel'dman. Arithmetic of probability distributions, and characterization problems on Abelian groups, Transl. Math. Monographs. Vol. 116, Providence, RI: American Mathematical Society, 1993, 223 pp.. Пусть случайные величины , и принимают значения в локально компактной абелевой группе , удовлетворяющей второй аксиоме счётности. Пусть имеет , а и независимы. Тогда из равенства следует, что и имеют гауссовские распределения тогда и только тогда, когда группа не содержит подгруппы, топологически изоморфной группе вращений окружности, то есть мультипликативной группе комплексных чисел по модулю равных 1. См. также Теорема Райкова Теорема Линника о разложении свёртки нормального распределения и распределения Пуассона Примечания
Категория:Теория вероятностей и математическая статистика