Разбиение на ортосхемы — гипотеза многомерной евклидовой геометрии о том, что любой симплекс может быть разбит на , причём число ортосхем ограничено сверху функцией от размерности симплекса. Выдвинута Гуго Хадвигером в 1956 году, по состоянию на 2026 год является открытой математической проблемой для размерностей, свыше 5, хотя в малых размерностях получены частные подтверждающие результаты.
Если гипотеза верна, то верно и более общее утверждение: любой выпуклый многогранник можно разбить на ортосхемы. Связанный потенциальный результат — любую -мерную ортосхему можно рассечь на или меньших ортосхем, таким образом, рассечения симплексов, допускающих разбиение на ортосхемы, могут иметь произвольно большое число ортосхем в рассечениях.
Ортосхема Ортосхема — симплекс специального вида: в ней существует путь по рёбрам, соединяющий все вершины, причём любые два ребра пути перпендикулярны друг другу. Двумерная ортосхема — это прямоугольный треугольник. Трёхмерную ортосхему можно построить из куба, если взять путь из трёх рёбер куба, не лежащих в одной грани, и рассмотреть выпуклую оболочку четырёх вершин, через которые проходит этот путь.
Рассечение тела (которое может быть любым замкнутым множеством в евклидовом пространстве) — представление в виде объединения других тел, внутренности которых не пересекаются. То есть тела «не перекрываются», но могут иметь общие точки на границах. Например, куб может быть рассечён на шесть трёхмерных ортосхем. Аналогично, любой гиперкуб или гиперпрямоугольник в -мерном пространстве может быть рассечён на ортосхем.
Утверждение гипотезы Хадвигера состоит в том, что существует функция такая, что любой -мерный симплекс может быть рассечён на не более чем ортосхем.
В пространствах малой размерности
В двумерном пространстве любой треугольник можно рассечь на два прямоугольных треугольника путём опускания высоты на самую длинную сторону.
В трёхмерном пространстве некоторые тетраэдры можно рассечь аналогично: достаточно опустить высоту из вершины в точку на противоположной грани, соединить со сторонами грани перпендикулярно сторонам и получить пути из трёх отрезков, перпендикулярных друг другу — от к , от на сторону и затем в вершину грани . Однако это построение не всегда работает: существуют тетраэдры, для которых основание ни одной высоты не лежит на гранях тетраэдра. Используя более сложное построение, в 1960 году доказано, что любой тетраэдр можно рассечь не более чем на 12 ортосхем. В 1980 году Йоханесс Бём доказал, что это значение оптимально — существуют тетраэдры, которые нельзя рассечь на менее чем 12 ортосхем. В той же статье Бём также обобщает результат на трёхмерную сферическую геометрию и трёхмерную гиперболическую геометрию.
В четырёхмерном пространстве требуется не более 500 ортосхем. В пятимерном пространстве также требуется конечное число ортосхем, где-то около 12,5 миллионов. Снова это применимо к сферической и гиперболической геометриям, как и к евклидовому пространству.
Примечания
Литература
. См, в частности, гипотезу 23, стр. 327.
Категория:Равносоставленность Категория:Многомерная евклидова геометрия Категория:Математические гипотезы