Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. Кана.
Определение Q-производная функции f(x) определяется как
и часто записывается как . Q-производная известна также как производная Джексона.
Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору
который приводит к обычной производной, → d⁄dx при q → 1.
Оператор очевидно линеен,
Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах
Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,
Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть . Тогда
Собственная функция q-производной — это eq(x).
Связь с обычными производными Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна
,
где — q-скобка числа n. Заметим, что , так что обычная производная возвращается в пределе.
Для функции n-ая q-производная может быть задана как:
при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь — q-символ Похгаммера, а — q-факториал. Если функция аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения
Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:
См. также Производная (математика)
Энтропия Цаллиса
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140 Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001),
Категория:Дифференциальное исчисление Категория:Q-аналоги