Глобальное поле — поле одного из двух видов: поле алгебраических чисел (конечное расширение поля рациональных чисел ) или поле функций на алгебраической кривой над конечным полем, или эквивалентно, конечное расширение — поля рациональных функций от одной переменной над конечным полем из элементов.
Являются пополнениями локальных полей, наряду с которыми составляют одни из центральных объектов изучения алгебраической теории чисел; в Математической предметной классификации направления, изучающие глобальные поля, объединены в раздел второго уровня с кодом 11Rxx, среди подразделов которого — теория алгебраических чисел, теория Ивасавы, теория Галуа глобальных полей, глобальная теория полей классов.
Как и локальные поля, всякое глобальное поле может быть реализовано как поле частных дедекиндова кольца, в котором каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс; как и в локальном случае, существует «формула произведения» для ненулевых элементов : .
Аналогия между глобальными и локальными полями была одной из движущих сил в алгебраической теории чисел: сходство поля алгебраических чисел и римановой поверхности отмечали ещё Дедекинд и Вебер в XIX веке. Понятия глобальных и локальных полей, сделавшие аналогию формальной, ввёл Вейль в 1930-е годы, прежде всего, в связи с гипотезой Римана для кривых над конечными полями. Аксиоматическое описание глобальных полей средствами дано Эмилем Артином и Джорджем Уоплесом в 1940 году.
Как правило, легче работать с полем функций, а затем пытаться разработать аналогичную технику для числового поля (арифметика функциональных полей). Один из ярких примеров такого подхода — и её применение Фальтингсом для доказательства гипотезы Морделла. Похожая схема существенно применялась в теории Ивасавы. В доказательстве фундаментальной леммы из программы Ленглендса также использовалось сведение числового поля к случаю функционального поля.
Среди ключевых результатов теории глобальных полей — теорема Минковского — Хассе (о том, что квадратичные формы над глобальным полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны над локальными полями, то есть эквивалентны в любом пополнении поля) и (глубокое обобщение закона взаимности Гаусса).
Примечания
Литература
Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Алгебраические кривые Категория:Теория полей