Теорема Мэйсона — Стотерса — результат алгебры многочленов, установленный (1981) и независимо Ричардом Мэйсоном (1983): для попарно взаимно простых многочленов , и  над полем таких, что и хотя бы один из них имеет ненулевую производную имеет место: , где — степень многочлена , а  — радикал многочлена (произведение различных неприводимых множителей ). Для алгебраически замкнутых полей радикал — многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у , то есть в этом случае — число различных корней .

-гипотеза — одна из основных открытых проблем теории чисел — была выдвинута Массером (1985) и Эстерле (1989) исходя из предположения переносимости результата с многочленов на числа.

Примеры Над полями нулевой характеристики условие, что хотя бы одна производная , , — ненулевая, равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики недостаточно требовать, чтобы все , и были неконстантными, например, тождество даёт пример, где , а .

При , в утверждении теоремы достигается равенство, что демонстрирует неулучшаемость оценки.

Простым следствием теоремы является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если для попарно взаимно простых , и над полем характеристики, не делящей , и , то хотя бы один из , , нулевой или все константы.

Обобщения Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.

Если  — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть  — гладкая проективная кривая рода , и пусть  — рациональные функции на , такие что , и пусть  — множество точек в , содержащее все нули и полюсы , то имеет место: , где степень функции в — это степень отображения, индуцированного из в . Это обобщение было доказано Мэйсоном в 1984 году, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано .

Существует дальнейшее обобщение., которое даёт верхнюю оценку для уравнений , для которых верно, что нет подмножеств , которые являются -линейно независимыми, при этих предположениях: .

Примечания

Ссылки

Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture

Категория:Теоремы алгебры Категория:Многочлены