Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.
На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.
Определение Пусть есть гиперплоскость и — данная фигура в .
Введём ортогональную систему координат, в которой описывается уравнением . Для каждой точки пусть обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к через , с множеством . Далее проведём через отрезок длины с серединой в , перпендикулярный к . Объединение таких отрезков есть симметризация Штайнера относительно .
Свойства
Объём совпадает с объёмом .
Площадь поверхности не превосходит площади поверхности . Если выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей и достигается только в случае, если зеркально симметрична относительно гиперплоскости, параллельной плоскости симметризации. В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных , например, равенство достигается для плоских фигур, составленных из двух прямоугольников с основаниями, параллельными прямой симметризации.
Если выпукла, то же верно и для .
Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть
где и — произвольные фигуры, и — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а — метрика Хаусдорфа.
Если , то .
Вариации и обобщения
Симметризация Пойа (круговая). Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.
Литература
Категория:Геометрические алгоритмы