Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.
История
Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году.. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу ПлемелюPlemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211–245. и в 1905 году Давиду Гильберту.Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
Формулировки
Формулировка Гротендика
Каждое голоморфное векторное расслоение над голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:
где обозначает расслоение с классом Черна . Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.
Формулировка Биркгофа
Обратимая матрица , каждая компонента которой является многочленом Лорана от , представляется в виде произведения , где матрица — многочлен от , — диагональная матрица, и матрица — многочлен от .
Приложения Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.
Вариации и обобщения Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над для любого поля .
Примечания
Литература .
Категория:Расслоения Категория:Алгебраическая геометрия