Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в раз.
Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии ) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.
Названы в честь , который изучал их в 1960-х годах.
Определение Пусть — многогранник с целыми вершинами, и — его гомотетия с целым коэффициентом . Обозначим через число целых точек в . Можно доказать, что число выражается как многочлен от ; этот многочлен и называется многочленом Эрара.
Примеры для единичного целого -мерного куба .
Свойства (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в равно
где — размерность .
Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.
Для любого -мерного многогранника , три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию свободный член многочлена Эрара равен 1. Главный коэффициент при равен объёму многогранника. Коэффициент при равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани. В частности, при многочлен Эрара многоугольника равен
где есть площадь многоугольника, а — число целочисленных точек на его границе. Подставив , получаем формулу Пика.
Примечания
Ссылки
Категория:Фигурные числа Категория:Многочлены Категория:Теория решёток (геометрия)