Пото́к — обобщение понятия подмногообразия играющее ключевую роль в геометрической теории меры. В частности, при помощи потоков обычно доказывается существование минимальных поверхностей с особенностями.
Потоки определяются подобно обобщённым функциям — поток есть линейный функционал на пространстве дифференциальных форм.
Определение Обозначим через пространство гладких -форм с компактным носителем на гладком многообразии . Поток определяется как линейный функционал на непрерывен в смысле распределений. То есть, линейный функционал
есть -поток, если для любой последовательности гладких форм, носители челнов которой лежат в одном компактном множестве, сходящейся к нулевой форме в имеем
Замечания
Пространство из -мерных потоков на это вещественное векторное пространство.
Многое свойства обобщенных функций переносятся на потоки. Например, можно определить носитель потока как дополнение максимальному открытому множеству такому, что для любой формы . Пространство -мерных потоков с компактным носителем обычно обозначают .
Пространство потоков естественно, наделено слабой топологией.
Нормы
Можно определить несколько норм на подпространстве пространства всех потоков. Одной из таких норм является масса.
где есть -норма на пространстве форм.
Масса потока является естественным обобщением объёма подмногообразия.
Плоская норма, определяется как
Литература
Категория:Геометрическая теория меры