В физике, скобка Мояля — это соответствующим образом нормированное антисимметризованное произведение Мояля в фазовом пространстве.
Скобка Мояля была введена в 1940 году Хосе Энрике Моялем, но ему удалось опубликовать свою работу только в 1949 году после долгих споров с Полем Дираком.. В то же время эта идея была независимо высказана в 1946 году Хипом Груневолдом в докторской диссертации.
Обзор Скобка Мояля — это способ построения коммутатора наблюдаемых величин в представлении фазового пространства квантовой механики, когда эти наблюдаемые описаны как функции в фазовом пространстве. Она опирается на распределения. Для определения функций на фазовом пространстве с квантовыми наблюдаемыми, наиболее известные из этих распределений задаются преобразованием Вигнера — Вейля. Скобка Мояля лежит в основе динамического уравнения Мояля, что эквивалентна формулировки квантовым уравнениям движения Гейзенберга, тем самым обеспечивая квантовое обобщение уравнения Гамильтона.
Математически, это деформации скобок Пуассона в фазовом пространстве (по сути их расширение), где в качестве параметра деформации выступает приведенная постоянная Планка ħ. Таким образом, её сокращение группы при задаёт алгебру Ли скобок Пуассона.
Вплоть до формальной эквивалентности, скобка Мояля — это уникальная однопараметрическая Ли-алгебраическая деформация скобки Пуассона. Его алгебраический изоморфизм с алгеброй коммутаторов обходит отрицательный результат теоремы Груневолда — Ван Хофа, которая исключает такие изоморфизмы для скобки Пуассона. Этот вопрос косвенно поднимался Дираком в 1926 году в его докторской диссертации: «метод классической аналогии» для квантованияP.A.M. Dirac, «The Principles of Quantum Mechanics» (Clarendon Press Oxford, 1958) .
Например, в двухмерном плоском фазовом пространстве, и для принципа соответствия Вейля, скобка Мояля определяется как,
где ★ — это оператор звёздочного произведения в фазовом пространстве (см. произведение Мояля), f и g дифференцируемые функций в фазовом пространстве, а } их скобка Пуассона.Или наоборот скобка Пуассона формально выражается через звёздочное произведение, = 2.
Более конкретно, это выражение равняется
{| cellpadding="6" id="45" style="border:2px solid #0073CF;background: #F9FFF7; text-align: center;" | id="48" |
Левая и правая стрелки над частными производными обозначают левую и правую производные. Иногда скобку Мояля называют синус скобкой.
Популярное (Фурье) интегральное представление для него, ввел Джордж БейкерG. Baker, "Formulation of Quantum Mechanics Based on the Quasi-probability Distribution Induced on Phase Space, " Physical Review, 109 (1958) pp.2198-2206.
Каждому отображению из фазового пространства в гильбертово пространство соответствует характеристическая скобка Мояля (здесь на примере отображения Вейля). Все такие скобки Мояля формально равноправны между собой, в соответствии с систематической теориейC.Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, «Quantum Mechanics in Phase Space» (World Scientific, Singapore, 2005) ..
Скобка Мояля определяет одноименную бесконечномерную алгебру Ли — антисимметричную по своим аргументам f и g, и удовлетворяющую тождеству Якоби. Соответствующая абстрактная алгебра реализована ★, так что
На 2-торе фазового пространства, , то есть с периодическими координатами x и p, каждая задана в полосе , и целоечисленными индексами мод для базисных функций , эта алгебра Ли задаётся,
которое редуцируется до SU(N) для целочисленных . SU(N) возникает как деформация SU(∞), с параметром деформации 1/N.
Обобщение скобки Мояля для квантовых систем со связями второго класса предполагает проведение операции на классах эквивалентности функций в фазовом пространстве,M. I. Krivoruchenko, A. A. Raduta, Amand Faessler, Quantum deformation of the Dirac bracket, Phys. , которые могут рассматриваться как квантовые деформации скобки Дирака.
Синус скобка и косинус скобка Рядом с синус скобкой, Груневолд дополнительно ввёл косинус скобку, определяемую по Бейкеру,See also the citation of Baker (1958) in:
Здесь, опять же, ★ — звёздочное произведение в фазовом пространстве, f и g дифференцируеме функции в фазовом пространстве, а — обычное произведение.
Синус и косинус скобки, соответственно, антисимметризованное и симметризованное звёздочное произведения. Таким образом, как синус скобка — отображение Вигнера коммутатора, косинус скобка образ преобразования Вигнера антикоммутатора в стандартной квантовой механике. Точно так же, как скобка Мояля равна скобке Пуассона с точностью до более высоких степеней ħ, косинус скобка равна обычному произведению с точностью до более высоких степеней ħ. В классическом пределе, скобка Мояля упрощается до уравнения Лиувилля (сформулированого в терминах скобки Пуассона), а косинус скобка сводится к классическому уравнению Гамильтона — ЯкобиB. J. Hiley: Phase space descriptions of quantum phenomena, in: A. Khrennikov (ed..
Синус и косинус скобки также приводят к уравнениям чисто алгебраического описания квантовой механикиM. R. Brown, B. J. Hiley: Schrodinger revisited: an algebraic approach, arXiv: quant-ph/0005026 (submitted 4 May 2000, version of 19 July 2004, retrieved June 3, 2011).
Ссылки
Категория:Квантовая механика Категория:Симплектическая геометрия