Категория 𝒪 — математический объект в теории представлений полупростых алгебр Ли. Это категория, чьи объекты — определённые представления полупростой алгебры Ли, а морфизмы — гомоморфизмы представлений.
Введение Пусть — (обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана , а — и — система положительных корней. Обозначим пространство корней соответствующее корню и — подалгебра.
Если — -модуль и , то is the
Определение категории 𝒪 Объекты категории — -модули , такие что — конечнопорождённый
локально -конечен, т.е., для каждого , -модуль порождённый — конечномерный.
Морфизмы этой категории — -гомоморфизмы этих модулей.
Базовые свойства У каждого модуля в категории есть конечнопорождённое . Каждый модуль в категории — Нётеров модуль. — абелева категория У есть достаточно много проективных и инъективных объектов. замкнута по отношению к подмодулям, частным и конечным прямым суммам Объекты в -конечны, т.е., если объект и , то подпространство порождённое под действием универсальной обёртывающей алгебры, конечномерное.
Примеры Все конечномерные -модули и их -гоморфизмы принадлежат категории . и и их -гомоморфизмы принадлежат категории .
См. также Универсальная обёртывающая алгебра
Литература
Категория:Алгебры Ли Категория:Теория представлений Категория:Теория представлений алгебр Ли