Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.
Несмотря на то, что топология в основном рассматривает бесконечные пространства, конечные топологические пространства часто используются, как примеры и контрпримеры. Уильям Терстон назвал конечные топологические пространства «чудаковатой темой, ведущей к пониманию многих вопросов».
Способы задания топологии
Топологию на конечном множестве можно определить с помощью частичного порядка , где обозначает замыкание множества .
Обратно, по любому частичному порядку на конечном множестве можно построить единственную топологию, определяемую этим свойством.
Для определения частичного порядка удобно использовать ориентированный граф, где вершины - это точки пространства, а существование восходящего пути из в соответствует отношению .
Примеры Связное двоеточие. Псевдоокружность — четырёхточечное пространство, задаваемое частичным порядком . Слабо гомотопически эквивалентно окружности. В частности, её фундаментальная группа изоморфна .
Свойства
Особенным свойством топологических пространств является то, что замкнутые множества также определяют топологию. Эту новую топологию можно получить обращением частичного порядка, или, что то же самое, обращением ориентации всех рёбер соответствующего графа. Каждое конечное топологическое пространство является компактным. Конечное Т1-пространство Т1 дискретно. В частности, любое конечное хаусдорфово пространство дискретно. Любое связное конечное топологическое пространство линейно связно. Для любого конечного абстрактного симплициального комплекса существует слабо гомотопически эквивалентное ему конечное топологическое пространство.P. Alexandroff. „Diskrete Räume.“ Матем. сб. 2 (1937), S. 501–519. Обратное также верно: для любого конечного топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему конечный симплициальный комплекс. В таблице ниже перечислены число различных топологий на множестве С из n элементов. Она также отображает количество неэквивалентных (то есть негомеоморфных) топологий. Не существует простой формулы для вычисления этих чисел; в энциклопедии целочисленных последовательностей в настоящее время списки доходят до .
Количество топологий на множестве из n точекnРазличныхтопологийРазличныхТ0 топологийНеэквивалентныхтопологийНеэквивалентныхТ0 топологий011111111124332329199543552193316569424231139636209527130023718318795352416129859453520458642779354431723379359791699996326028942344511042511363083183231108977053873043661106524878347176872567284ОЭИСA000798A001035A001930A000112
Число всех Т0-топологий на множестве из n точек и число всех топологий связанy формулой
где обозначает число Стирлинга второго рода.
См. также
Конечные геометрии Конечное метрическое пространство Топологическая комбинаторика
Ссылки
Cite journalLast nameStongFirst nameRobert E.Year of publication1966TitleFinite topological spacesURLhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/stong2.pdfJournalTransactions of the American Mathematical SocietyVolume123Pages325–340DOI10.2307/1994660MR0195042 Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volume 33, Number 3 (1966), 465-474.
Категория:Комбинаторика Категория:Топологические пространства