Чи́сла Э́йлера II ро́да обозначаются и определяются как количество перестановок мультимножества , обладающих тем свойством, что для каждого подсчитываются все числа, большие чем , встречающиеся между двумя вхождениями в перестановке (таких перестановок , где !! обозначает двойной факториал), и имеющих ровно «подъёмов» (элементов, бо́льших предыдущего элемента).
Пример Например, для существует 15 таких перестановок, 1 без подъёмов, 8 с одним подъёмом и 6 с двумя подъёмами:
Рекуррентное соотношение Числа Эйлера второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое непосредственно следует из приведённого выше определения:
,
с начальным условием для , выраженным в скобках Айверсона:
.
Соответственно, многочлен Эйлера второго рода, обозначаемый здесь (для них не существует стандартных обозначений) и вышеупомянутые рекуррентные отношения переводятся в рекуррентное отношение для последовательности :
с начальным условием .
Последнее повторение может быть записано в несколько более компактной форме с помощью интегрирующего множителя:
,
так что рациональная функция
удовлетворяет простому автономному рекуррентному соотношению:
, ,
откуда можно получить эйлеровы многочлены в виде и и числа Эйлера второго рода в качестве их коэффициентов.
Треугольник чисел Эйлера II рода Значения чисел Эйлера II рода для малых значений и приведены в следующей таблице ():
+ n/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 1 2 3 1 8 6 4 1 22 58 24 5 1 52 328 444 120 6 1 114 1452 4400 3708 720 7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880
Сумма -й строки, которая также является значением , равна .
См. также Эйлер, Леонард Числа Эйлера I рода Рекуррентная формула
Ссылки Числа Эйлера I рода
Числа Эйлера
Категория:Дискретная математика Категория:Перечислительная комбинаторика Категория:Целочисленные последовательности Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера