Метод Гамильтона — Якоби сводит задачу нахождения экстремалей (или задачу интегрирования гамильтоновой системы уравнений) к интегрированию уравнения в частных производных первого порядка — так называемого уравнения Гамильтона — Якоби. Основы теории Гамильтона-Якоби были разработаны Гамильтоном в 1820-х годах для задач волновой оптики и геометрической оптики. В 1834 году Гамильтон распространил свои идеи на проблемы динамики, и Якоби (1837) применил метод к общим задачам классического вариационного исчисления.
Начальные точки теории Гамильтона-Якоби были установлены в 17 веке Ферма и Гюйгенсом, которые использовали для этой цели предмет геометрической оптики (см. Принцип Ферма; принцип Гюйгенса).
Алгоритм Рассмотрим шаги Гамильтона и проблему распространения света в неоднородной (но для простоты, изотропной) среде, где — локальная скорость света в точке .
Согласно принципу Ферма, свет распространяется от точки к точке в неоднородной среде в кратчайшие сроки. Пусть будет начальной точкой, и пусть будет кратчайшим возможным временем, когда свет пройдет расстояние от > до Функция известна как эйконал или оптическая длина пути. Предполагается, что за короткое время свет проходит от точки до точки . Согласно принципу Гюйгенса, свет будет распространяться, кроме малых величин более высокого порядка, по нормали к поверхности уровня функции . Таким образом, выполняется уравнение:
.
И уравнение Гамильтона-Якоби для задач геометрической оптики имеет вид:
.
В аналитической механике роль принципа Ферма играет вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, а роль эйконала играет функционал действия, то есть интеграл:
, (1)
вдоль траектории γ, соединяющей данную точку с точкой , где находится функция Лагранжа механической системы, .
Якоби предложил использовать функцию, напоминающую функционал действия (1), при решении всех задач классического вариационного исчисления. Экстремалы задачи , выходящей из точки , пересекают поверхность уровня основной функции трансверсально (см. условие трансверсальности). Форма дифференциала функционала действия:
выводится из этого условия. Здесь и — функции Гамильтона (см. также преобразование Лежандра).
Последнее упомянутое соотношение дает следующее уравнение для функции S:
. (2)
Это уравнение Гамильтона — Якоби.
Наиболее важным результатом теории Гамильтона — Якоби является теорема Якоби, которая утверждает, что полный интеграл уравнения (2), то есть решение этого уравнения, которое будет зависеть от параметров (при условии, что , позволяет получить полный интеграл уравнения для функционала Эйлера (1) или, что то же самое, гамильтоновой системы, связанной с этим функционалом формулами , . Применение теоремы Якоби к интегрированию гамильтоновых систем обычно основано на методе разделения переменных в специальных координатах.
Применение Несмотря на то, что интегрирование уравнений в частных производных обычно сложнее, чем решение обыкновенных уравнений, теория Гамильтона-Якоби оказалась мощным инструментом в изучении проблем оптики, механики и геометрии. Суть принципа Гюйгенса была использована Беллманом при решении задач оптимального управления. См. также инвариантный интеграл Гильберта.
Комментарии В оптимальном управлении уравнение Гамильтона-Якоби имеет, например, форму:
,
где
.
См., например, оптимальное управление синтезом. В этом случае его часто называют уравнением Беллмана (особенно в технической литературе) или уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана. Существует также версия для оптимального стохастического управления, см. [slovar.wikireading.ru/2700830 управляемый случайный процесс]. Поскольку классические решения уравнения Гамильтона-Якоби часто не существуют, возникает необходимость рассмотреть различные виды обобщённых решений, таких как решения с вязкостью.
Примечания
Категория:Физические законы и уравнения Категория:Симплектическая геометрия Категория:Теоретическая механика Категория:Гамильтонова механика Гамильтона — Якоби Категория:Оптимальное управление