Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.

Эргодические системы

Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

Определение Пусть есть вероятностное пространство и — отображение, сохраняющее меру.

Отображение T эргодично по отношению к , если выполнено следующее условие:

для любого T-инвариантного подмножества (то есть такого, что ) либо , либо .

Замечания Определение эквивалентно следующим условиям,

Для любого подмножества положительной меры имеем ; Для любых двух множеств E и H положительной меры существует n > 0 такое, что *:; Любая T-инвариантная измеримая функция почти везде постоянна.

См. также Преобразование пекаря Теорема Биркгофа — Хинчина Динамический хаос Эргодическая гипотеза

Литература В. И. Арнольд, А. Авец. Эргодические проблемы классической механики. — Москва—Ижевск: РХД, 1999. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.

Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики, М. — Л., 1943. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949. Халмош П. Лекции по эргодической теории: пер. с англ. — М., 1959. G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660. J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82. J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.

Ссылки

__NOTOC__

Категория:Эргодическая теория