Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.
Формулировки Конечные семейства Предположим, что
есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства , такое что и пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть .Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. - М., МГУ, 1987. - c. 177
Бесконечные семейства Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:
Пусть есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств , такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
Следствия Теорема Юнга: Пусть есть конечное множество точек в -мерном евклидовом пространстве такое, что любые точек из можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество можно накрыть единичным шаром. Радиус Юнга: Пусть — множество точек в -мерном евклидовом пространстве , с диаметром . Тогда существует -мерный замкнутый шар радиуса , такой что . Если множество не принадлежит никакому меньшему шару, то содержит вершины -симплекса с длиной каждого ребра .Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 293 Теорема Киршбрауна
Вариации и обобщения Пусть — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств . Если пересечение произвольного конечного подсемейства не пусто то также непусто.
История Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten, — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176., уже после публикаций РадонаJ. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten, — Math. Ann. 83 (1921), 113—115. и КёнигаD. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220..
См. также Нерв покрытия Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке
Примечания
Литература
Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Выпуклая геометрия Хелли Категория:Выпуклый анализ