Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения
Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения, ибо позволяет обойтись без мнимых величин.
Формула Вычисляем Вычисляем Вычисляем Если , то вычисляем и имеем три действительных корня:
Если , то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака :
(действительный корень) (пара комплексных корней)
(действительный корень) (пара комплексных корней) : (действительный корень) (пара комплексных корней) Если , то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):
Вывод формулы
Исходный многочлен имеет вид .
Подстановкой приводим многочлен к виду , где и .
Ищем решение уравнения в виде , получаем уравнение .
Заметим что в случае при это уравнение приобретает вид .
Используя тригонометрическое тождество приходим к уравнению вида .
Решение этого уравнения имеет вид , где пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что .
Подставляя полученные значения в выражение для переменной , получаем ответ
Категория:Многочлены