Теорема Усова о геодезической даёт точную оценку на вариацию поворота геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.
Доказана Владимиром Владимировичем Усовым.В. В. Усов. "О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности." Сибирский математический журнал 17.1 (1976), с. 233—236 Доказательство использует лемму Либермана.
Формулировка
Пусть есть график выпуклой липшицевой функции и есть геодезическая на . Тогда вариация поворота не превосходит , где — липшицева константа .
Замечания Эта оценка достигается например для конуса . Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.
Вариации и обобщения Вариация поворота геодезической подграфика произвольной -липшицевой функции не превосходит .I. D. Berg. “An estimate on the total curvature of a geodesic in Euclidean 3-space-with-boundary.” Geom. Dedicata 13 (1982), pp. 1–6. Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия кривых Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей