Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике и даже полностью противоречащее ей. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.
Квантовомеханическое описание сути эффекта
Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых её потенциальная энергия меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы
не может (в классической физике) быть отрицательной, так как в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть, если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что , просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным.
В квантовой же механике факт мнимого значения импульса частицы не является нонсенсом. Скажем, уравнение Шрёдингера с постоянным потенциалом = const, в одномерном случае записываемое как
где — искомая волновая функция, — координата, — редуцированная постоянная Планка, — масса частицы, имеет решение
.
Это решение относится к ситуации как , так и . Во втором, невозможном в классической механике, случае, под экспонентами окажется вещественная величина из-за мнимого импульса — физически, такое решение описывает затухание или усиление волны с координатой. Конкретизация определяется граничными условиями.
Ненулевые значения при указывают на наличие некоторой вероятности попадания частицы в классически недоступную область, именуемую в данном контексте барьером. Если область бесконечно толстая (полупространство), происходит затухание волновой функции с характерной глубиной. Если же барьер имеет конечную толщину, сопоставимую с этой глубиной, то затухание прекращается за пределами барьера — и волновая функция прошедшей волны соответствует дальнейшему распространению, хотя и с меньшей амплитудой (показано на рис.).
В процессе туннелирования сохраняются полная энергия частицы и компонента её импульса в плоскости , перпендикулярной к направлению туннелирования:
.
Выше при рассмотрении одномерного случая предполагалось ; если же , то в выражении для надо было бы заменить на . Невыполнение правил сохранения возможно только при действии диссипативных сил, нарушающих «чистоту» туннельного процесса.
Коэффициент прохождения через барьер
Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер , а до и после него . Пусть, далее, начало барьера совпадает с началом координат, а «ширина» барьера равна .
Тогда для первой (до барьера) и третьей (после) областей уравнение Шредингера даёт решение в виде суммы двух экспонент с вещественными показателями:
, ,
в то время как для второй области (барьера) решение может быть сложным и определяется видом профиля . Здесь
.
Так как слагаемое описывает отражённую волну, идущую из плюс бесконечности, которая в области III отсутствует, надо положить .
Коэффициент прозрачности (коэффициент прохождения) барьера равняется модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:
.
Для определения потока частиц используется следующая формула:
,
где знак * обозначает комплексное сопряжение. Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим:
.
Следовательно, для определения коэффициента прохождения требуется знать и .
Прямоугольный потенциальный барьер
В случае простейшего прямоугольного барьера при волновая функция в барьере имеет вид:
где — волновое число.
При аналитическом расчёте предэкспоненциальных множителей в выражениях для используются «условия сшивки функций»: требования непрерывности и их производных на обоих стыках.
После выполнения математических выкладок получается:
Запись этой формулы более естественна для случая Но формула справедлива и при надбарьерном прохождении при при этом гиперболический синус можно заменить на обычный через формулу .
Из анализа формулы для ясно, что в отличие от классического случая, во-первых, прохождение возможно и при , а во-вторых, прохождение при не гарантировано (см. рисунок).
В целом, для энергий ниже для того, чтобы коэффициент прозрачности имел ощутимые значения, барьер должен быть тонким и невысоким.
В случае когда коэффициент прохождения мал, формула преобразуется в:
где предэкспоненциальный множитель нередко можно считать близким к единице и опустить.
Потенциальный барьер произвольной формы Потенциальный барьер произвольной формы можно мысленно разбить на систему стоящих впритык друг к другу прямоугольных барьеров малой ширины c потенциальной энергией Если пренебречь отражениями на стыках, то коэффициент прохождения такой системы можно вычислить как произведение коэффициентов прохождения всех барьеров из разбиения.
Предэкспоненциальный множитель был приравнен единице. Если в последнем выражении устремить к нулю и перейти от суммирования к интегрированию, получитсяЯворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Оникс, 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6. — Тираж 5 100 экз. — С. 774.:
где и находятся из условия:
Более обоснованно данная формула может быть выведена посредством так называемого квазиклассического приближения (оно же приближение Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна).
Упрощённое объяснение
Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей, записанным в виде:
,
оно показывает, что при ограничении квантовой частицы в пространстве, то есть увеличении её определённости по x, её импульс p становится менее определённым. Случайным образом неопределённость импульса может добавить частице энергии для преодоления барьера. Таким образом, с некоторой вероятностью квантовая частица может проникнуть через барьер. Эта вероятность тем больше, чем меньше масса частицы, чем у́же потенциальный барьер и чем меньше энергии недостаёт частице, чтобы достичь высоты барьера, средняя энергия проникшей частицы при этом останется неизменнойСтатья «Туннельный эффект» в БСЭ, 2 абзац.
Полная энергия системы складывается из кинетической и потенциальной и поэтому при сохранении полной энергии, для частицы, находящейся под потенциальным барьером, кинетическая энергия должна быть отрицательна. Это кажущееся противоречие разрешается с использованием следующего рассмотрения. Нельзя разделить полную энергию на две, кинетическую и потенциальную, так как из этого следует, что для частицы известен импульс и координата, что невозможно из принципа неопределённости. Ограничивая положение частицы областью под барьером, нужно учитывать также неопределённость импульса. Из формулы для коэффициента прохождения через барьер следует, что частицы проходят через потенциальный барьер заметным образом лишь при его толщине , определяемой приближённым равенством . Здесь — максимальная высота барьера. Для обнаружения частицы внутри потенциального барьера мы должны измерить её координату с точностью, не превышающей глубину её проникновения . Из принципа неопределённости следует, что в этом случае импульс частицы приобретает дисперсию . Величину можно найти из формулы , в результате получаем .
Таким образом, кинетическая энергия частицы при прохождении через барьер увеличивается на величину, требуемую для прохождения барьера, в результате появления неопределённости её импульса, определяемой принципом неопределённости в результате неопределённости измерения её координаты. Это выражение также можно получить из соотношения неопределённости для энергии-времени .
Примеры проявления туннельного эффекта О многообразии сфер проявления Туннельный эффект, при универсальности его теории, проявляется в весьма разнообразных физических системах. Конкретные виды систем различаются способом создания профиля потенциальной энергии (в неодномерных случаях ) и типом туннелирующих частиц. Скажем, в эффекте Джозефсона через диэлектрическую плёнку между сверхпроводниками туннелируют так называемые куперовские пары. В случае альфа-распада туннелирующими частицами являются ядра атомов гелия (альфа-частицы), а координатная зависимость потенциальной энергии «с барьером» образуется за счёт сильных ядерных сил.
Примеры в твердотельной электронике
Важным случаем туннелирования является перенос электронов в структурах, содержащих полупроводниковые или диэлектрические слои. Как известно из зонной теории твёрдого тела, электрон в таких материалах может иметь не любую энергию, а только ниже некоторого значения или выше некоторого другого Область называется запрещённой и обычно составляет несколько эВ. В однородном материале без приложения электрического напряжения профили являются горизонтальными линиями (на рисунке — а). Однако, при наличии нескольких слоёв возникают скачки и на стыках, то есть создаётся барьер (на рисунке — b, d). Барьеры также могут возникать или изменяться в присутствии электрического поля, вызывающего изгиб/наклон (на рисунке — с). Для протекания туннельного тока необходимо наличие разницы в энергиях Ферми слева и справа от барьера.
Существует много имеющих практическое значение структур и твёрдотельных приборов с подобными профилями энергии краёв разрешённой зоны (на рисунке — b, d). Среди структур обсуждаемого класса: большинство типов полевых транзисторов с изолированным затвором, структуры полупроводник (часто поликристаллический кремний polySi) — диэлектрик (часто SiO2) — полупроводник (часто Si); туннельный диод (две полупроводниковые области в условиях, когда в одной из них выше, чем в другой, на рисунке — c); системы с тонкими оксидными плёнками, покрывающими ряд металлов (в частности, алюминий), туннелирование носителей зарядов через такие плёнки (средний рис. d) обеспечивает проводимость точек механического соединения проводников (скрутки проводов, зажимы, джамперы); системы, в которых реализуется автоэлектронная эмиссия — туннелирование электронов сквозь потенциальный барьер из твёрдого тела в вакуум при большой напряжённости электрического поля у его поверхности (правый на рисунке — d); различные туннельные приборы на основе гетероструктур, в том числе резонансно-туннельные диоды.
Ниже более подробно представлены «обычный» туннельный диод и резонансный.
Туннельный диод
Туннельный диод — это разновидность полупроводникового диода (p-n-перехода), особенностью которого является сильное, до вырождения, легирование p- и n- частей. При таком легировании, энергетическое перекрытие валентной зоны p-части и зоны проводимости n-части имеет место не только при обратном («-» на p) напряжении, но и при малых значениях прямого («+» на p). Кроме того, обеднённая область, формирующаяся вблизи границы перехода, оказывается значительно более узкой, чем при слабом легировании, и, как следствие, туннельно-проницаемой. При увеличении от нуля напряжения любой полярности происходит быстрое нарастание тока из-за эффекта туннелирования электронов между зоной проводимости n-части и валентной зоной p-части. Наиболее значим режим прямого смещения: туннелирование при такой полярности продолжается до напряжения, при котором край валентной зоны p-части (за пределами области обеднения) и край зоны проводимости n-части (тоже за пределами области обеднения) сравниваются по энергии. При более высоких прямых напряжениях диод работает в обычном режиме.