Тео́рия многокра́тного наложе́ния коне́чных деформа́ций Левин В. А. О концентрации напряжений вблизи отверстия, образованного в предварительно напряженном теле из вязкоупругого материала //Доклады АН СССР. 1988. Т.299. № 5. — С. 1079—1082. — это раздел механики деформируемого твердого тела, предназначенный для моделирования деформации тел в несколько этапов, когда на каждом этапе в теле возникают конечные (большие) деформации. Теория многократного наложения конечных деформаций была разработана в 1970—1980-х годахЛевин В. А., Тарасьев Г. С. Об одном варианте модели вязкоупругого тела при больших деформациях// Прикладная механика. — 1983. — 19, № 7. — С. 38-42. Левин В. А. К использованию метода последовательных приближений в задачах наложения конечных деформаций// Прикладная механика. 1987. Т. 23, № 5. — С. 66-71..
Причинами деформирования тела на каждом этапе могут быть, например, следующие: приложение внешних нагрузок к телуЛевин В. А., Булатов Л. А. Концентрация напряжений около кругового отверстия в теле из вязкоупругого материала// Механика композитных материалов. — 1983. — № 3. — С. 423—426.; удаление части (частей) тела Левин В. А., Морозов Е. М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации// Доклады Академии наук, 2002. Т. 382, № 1, с. 62-67.; присоединение к телу новой части (частей)Ganghoffer, J.F., Sokolowski, J. A micromechanical approach to volumetric and surface growth in the framework of shape optimization// International Journal of Engineering Science, 2014, V. 74, pp. 207—226.; изменение механических свойств материала тела или его части (частей)Зингерман К. М., Левин В. А. Перераспределение конечных упругих деформаций после образования включений. Приближенное аналитическое решение// Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, вып. 6. С. 983—1001., в том числе в результате твердотельных фазовых переходовВ. А. Левин, В. И. Левитас, В. В. Лохин, К. М. Зингерман, Л. Ф. Саяхова, Е. И. Фрейман Твердотельные фазовые переходы, вызванные действием механических напряжений в материале с наноразмерными неоднородностями: модель и вычислительный эксперимент // Доклады Академии наук. 2010, том 434, № 4, с. 481—485.; вязкоупругие процессы, протекающие в материале телаV. A. Levin, K. M. Zingerman. A class of methods and algorithms for the analysis of successive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains// Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24. Issue 12. P. 2240—2251.; тепловые или электромагнитные воздействияLevin V.A, Zubov L.M., Zingerman K.M. Multiple joined prestressed orthotropic layers under large strains// International Journal of Engineering Science, 2018, V. 133, P. 47-59.; химические реакции.
Теория многократного наложения конечных деформаций может быть полезна, например, при моделировании таких явлений и процессов, как возникновение и рост трещинЛевин В. А., Лохин В. В., Зингерман К. М. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций.// Доклады PАН. 1995. Т. 343, № 6. — С. 764—766.Левин В. А.,Морозов Е. М. Нелокальные критерии для определения зоны предразрушения при описании роста дефекта при конечных деформациях// Доклады Академии наук. 2007. Т. 415, № 1. С. 52-54.Левин В. А. К построению модели развития дефекта при конечных деформациях. Нелокальные критерии// Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, № 3. С. 445—452., рост биологических тканейJin, L., Liu, Y., Cai, Z. Asymptotic solutions on the circumferential wrinkling of growing tubular tissues// International Journal of Engineering Science, 2018, V. 128, pp. 31-43.Ahamed, T., Dorfmann, L., Ogden, R.W., 2016. Modelling of residually stressed materials with application to AAA. J. Mech. Behav. Biomed. Mater. 61, 221—234.E.K. Rodriguez, A. Hoger, A.D. McCulloch' . Stress-dependent finite growth in soft elastic tissues// Journal of Biomechanics. 1994 Volume 27, Issue 4, Pages 455—467., эволюция горных породJ. Aller, N.C. Bobillo-Ares, F. Bastida, R.J. Lisle, C.O. Menéndez. Kinematic analysis of asymmetric folds in competent layers using mathematical modeling. Journal of Structural Geology, Volume 32, Issue 8, 2010, Pages 1170—1184Mohamed G. Abdelsalam. Quantifying 3D post-accretionary tectonic strain in the Arabian-Nubian Shield: Superimposition of the Oko Shear Zone on the Nakasib Suture, Red Sea Hills, Sudan. Journal of African Earth Sciences, Volume 56, Issues 4-5, 2010, Pages 167—178.Sergio Llana-Fúnez, Ernest H. Rutter. Strain localization in direct shear experiments on Solnhofen limestone at high temperature — Effects of transpression. Journal of Structural Geology, Volume 30, Issue 11, 2008, Pages 1372—1382.. Теория может быть также применена для прочностных расчетов изделий аддитивного производстваLevin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution for different types of incompressible materials // International Journal of Solids and Structures. 2016. V. 100—101. P. 558—565., в резиновой и шинной промышленностиЗингерман К. М., Левин В. А. Обобщение задачи Ламе-Гадолина для больших деформаций и ее аналитическое решение// Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77, вып. 2. С. 322—336.Левин В. А., Зубов Л. М., Зингерман К. М. Кручение составного нелинейно упругого цилиндра с предварительно напряжённым включением // Докл. РАН. 2013. Т. 453, № 5. С. 507—510., в горнодобывающей промышленностиV.A.Levin, A.V.Vershinin. Non-stationary plane problem of the successive origination of stress concentrators in a loaded body. Finite deformations and their superposition// Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24. Issue 12. P. 2240—2251. P. 2229—2239.. Эта теория может быть полезна также при моделировании остаточных напряжений при конечных деформацияхRausch, M.K.,Kuhl, E., 2013. On the effect of prestrain and residual stress in thin biological membranes. J. Mech. Phys. Solids. 61, 1955—1969..
Теория многократного наложения конечных деформаций является обобщением теории наложения малых деформаций на конечныеЗубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости. Случай наложения малой деформации на конечную // ПММ, 1971. Т. 35. Вып. 5. С.848-852.. В рамках теории наложения малых деформаций на конечные дополнительные деформации на втором и последующих этапах деформирования считаются малыми.
См. также Деформируемое тело Напряжённо-деформированное состояние Концентрация напряжений Ползучесть материалов
Примечания
Литература
Левин В. А., Зубов Л. М., Зингерман К. М. Точное решение задачи о нелинейном изгибе составного бруса с предварительно деформированным слоем при конечных деформациях // Докл. РАН. 2015. Т. 460, № 2. С. 155—158. Левин В. А., Зубов Л. М., Зингерман К. М. Влияние предварительно напряженного слоя на нелинейный изгиб прямоугольного бруса из сжимаемого материала // Докл. РАН. 2015. Т. 461, № 4. С. 410—413. V.A. Levin, L.M. Zubov, K.M. Zingerman. The torsion of a composite, nonlinear-elastic cylinder with an inclusion having initial large strains// International Journal of Solids and Structures. 2014. V. 51. Issue 6. P. 1403—1409. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020768313005155 Левин В. А. Равновесие микрополярных тел с предварительно деформированными областями. Наложение больших деформаций // Прикладная математика и механика. Том 81. Вып. 3, 2017. С. 330—336. https://elibrary.ru/item.asp?id=29364384 Drozdov A.D. Viscoelastic Structures. Mechanics of Growth and Aging. San Diego: Academic Press, 1998. 596 p. http://www.gbv.de/dms/ilmenau/toc/233411887.PDF Ganghoffer, J.-F. Mechanical modeling of growth considering domain variation. Part II: Volumetric and surface growth involving Eshelby tensors // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2010, 58 (9), pp. 1434—1459. Ganghoffer, J.-F., Rahouadj, R. Thermodynamic formulations of continuum growth of solid bodies// Mathematics and Mechanics of Solids, 2017, V. 22 (5), pp. 1027—1046. https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/1081286515616228?journalCode=mmsa Lin, W.J., Iafrati, M.D., Peattie, R.A., Dorfmann, L. Growth and remodeling with application to abdominal aortic aneurysms// Journal of Engineering Mathematics, 2018, V. 109 (1), pp. 113—137. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10665-017-9915-9 Witzenburg, C.M., Holmes, J.W. A Comparison of Phenomenologic Growth Laws for Myocardial Hypertrophy// Journal of Elasticity, 2017, V. 129 (1-2), pp. 257—281. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10659-017-9631-8 Lanir, Y. Fibrous tissues growth and remodeling: Evolutionary micro-mechanical theory// Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2017, V. 107, pp. 115—144. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10659-016-9607-0 Ogden R.W. Nonlinear Elasticity, Anisotropy, Material Stability and Residual Stresses in Soft Tissue. In: Holzapfel G.A., Ogden R.W. (eds) Biomechanics of Soft Tissue in Cardiovascular Systems. International Centre for Mechanical Sciences (Courses and Lectures), vol. 441. Springer, Vienna, 2003. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-7091-2736-0_3 Ogden, R. W. (1984). Non-linear elastic deformations . Chichester: Ellis Horwood Limited. Nonlinear Elasticity: Theory and Applications. Y. Fu & R. Ogden (Eds.). Cambridge: Cambridge University Press, 2001. https://www.cambridge.org/core/books/nonlinear-elasticity/CB96A412B8EEB42F666E7C59FEA450CF#fndtn-information
Категория:Теория упругости Категория:Механика разрушения