Прямоугольный дельтоид — это дельтоид (четырёхугольник, стороны которого можно сгруппировать в две пары смежных сторон одинаковой длины), который может быть вписан в окружность
Описание Дельтоид является прямоугольным дельтоидом тогда и только тогда, когда он имеет описанную окружность (по определению). Это эквивалентно тому, что дельтоид имеет два противоположных прямых угла.
Иногда прямоугольный дельтоид определяется как дельтоид с по меньшей мере одним прямым углом. Если имеется только один прямой угол, он должен быть между двумя сторонами равной длины. В этом случае формулы, приведённые выше, не работают.
Формулы Поскольку прямоугольный дельтоид можно разбить на два прямоугольных треугольника, следующие формулы легко получаются из хорошо известных свойств прямоугольных треугольников. В прямоугольном дельтоиде ABCD, где два противоположных угла B и D прямые, два других угла могут быть вычислены из ,
где a = AB = AD и b = BC = CD. Площадь прямоугольного дельтоида равна
Диагональ AC, которая является осью симметрии, имеет длину
и, поскольку диагонали перпендикулярны (так что прямоугольный дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником с площадью ), другая диагональ BD имеет длину
Радиус описанной окружности равен (согласно теореме Пифагора)
и, так как все дельтоиды являются описанными, радиус вписанной окружности задаётся формулой ,
где s является полупериметром.
Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как.
Если мы обозначим отрезки на диагоналях от точки пересечения до вершин по часовой стрелке через , то
Это прямое следствие теоремы о среднем геометрическом.
Вписанная окружность Все прямоугольные дельтоиды являются вписанно-описанными четырёхугольниками, поскольку все дельтоиды имеют вписанную окружность. Одна из диагоналей (которая служит осью симметрии) делит прямоугольный дельтоид на два прямоугольных треугольника и является также диаметром описанной окружности.
В описанном четырёхугольнике (то есть обладающем вписанной окружностью), четыре отрезка между центром вписанной окружности и точками касания четырёхугольника разбивают четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.
Двойственность для прямоугольного дельтоида является равнобочная трапеция.
Специальный случай Специальным случаем прямоугольных дельтоидов являются квадраты, у которых диагонали имеют одинаковую длину, тогда и вписанная и описанная окружности концентричны.
Примечания
Литература
Категория:Четырёхугольники