Метод фиктивных областей — метод приближённого решения задач математической физики в геометрически сложных областях, основанный на переходе к задаче в геометрически более простой области (как правило, многомерный параллелепипед), целиком содержащей исходную.Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М., Наука, 1980. - c. 130-136 Преимуществом этого метода является удобство составления универсальных программ для численного решения широкого класса краевых задач математической физики, которые перестают зависеть от конкретного вида рассматриваемой области. Недостатком этого метода является низкая точность приближенного решения и сложность создания разностных схем и численного решения задач.
Пример
Рассмотрим задачу нахождения неизвестной функции исходя из дифференциального уравнения:
с краевыми условиями:
Для решения задачи рассмотрим фиктивную область . Обозначим как приближённое решение задачи в фиктивной области. Здесь - малый параметр.
Вариант решения с продолжением по старшим коэффициентам
В этом случае является решением дифференциального уравнения:
Ступенчатый коэффициент вычисляется следующим образом:
Правую часть уравнения (2) представим в виде:
Граничные условия для уравнения (2):
При необходимо задать условия "сшивки":
где обозначение означает "разрыв":
Решение поставленной задачи имеет вид:
Сравнивая его с точным решением уравнения (1) , получаем оценку ошибки:
Вариант решения с продолжением по младшим коэффициентам
В этом случае является решением дифференциального уравнения:
Здесь определено как в уравнении (3), коэффициент вычисляются как:
Граничные условия для уравнения (4) такие же как и для уравнения (2).
Условия сопряжения в точке :
Ошибка решения:
Примечания
Литература
Категория:Математическая физика Категория:Численные методы Категория:Математическое моделирование