Выпуклое сопряжение функции — это обобщение преобразования Лежандра, которое применяется к невыпуклым функциям. Оно известно также как преобразование Лежандра — Фенхеля или преобразование Фенхеля (по именам Адриена Мари Лежандра и Вернера Фенхеля). Сопряжение используется для преобразования задачи оптимизации в соответствующую двойственную задачу, которую, возможно, проще решить.
Определение Пусть будет вещественным топологическим векторным пространством и пусть будет двойственным пространством для . Обозначим через
Для функции
,
принимающей значения на расширенной числовой прямой, выпуклое сопряжение
определено в терминах супремума по формуле
или, эквивалентно, в терминах инфимума по формуле
Это определение можно интерпретировать как кодирование выпуклой оболочки надграфика функции в терминах её опорных гиперплоскостей.
Примеры Выпуклое сопряжение аффинной функции
равно
Выпуклое сопряжение степенной функции
равно
где
Выпуклое сопряжение функции абсолютной величины
равно
Выпуклое сопряжение показательной функции равно
Выпуклое сопряжение и преобразование Лежандра показательной функции совпадают за исключением того, что область определения выпуклого сопряжения строго шире, поскольку преобразование Лежандра определено лишь для положительных вещественных чисел.
Связь с ожидаемыми потерями (средняя цена риска) Пусть F означает функцию распределения случайной величины X. Тогда (интегрируя по частям),
имеет выпуклое сопряжение
Упорядочение Конкретная интерпретация имеет преобразование
как неубывающую перегруппировку начальной функции f. В частности, для не убывает.
Свойства Выпуклое сопряжение снова является замкнутой выпуклой функцией. Выпуклое сопряжение полиэдральной выпуклой функции (выпуклой функции с многогранным надграфиком) снова является полиэдральной выпуклой функцией.
Обращение порядка Выпуклое сопряжение обращает порядок — если , то . Здесь
Для семейства функций это следует из факта, что супремумы могут быть переставлены местами
и из
Двойное сопряжение Выпуклое сопряжение функции всегда полунепрерывно снизу. Двойное сопряжение (выпуклое сопряжение выпуклого сопряжения) является также замкнутой выпуклой оболочкой, то есть наибольшей полунепрерывной снизу выпуклой функцией с . Для тогда и только тогда, когда f выпукла и полунепрерывна снизу по теореме Фенхеля — Моро.
Неравенство Фенхеля Для любой функции и её выпуклого сопряжения неравенство Фенхеля (известное также как неравенство Фенхеля — Моро) выполняется для любого и :
Доказательство следует немедленно из определения выпуклого сопряжения: .
Выпуклость Для двух функций и и числа выполняется . Здесь операция — это выпуклое отображение в себя.
Инфимальная конволюция Инфимальная конволюция двух функций f и g определяется как
Пусть f1, …, fm будут правильными выпуклыми полунепрерывными снизу функциями на . Тогда инфимальная конволюция выпукла и полунепрерывна снизу (но не обязательно будет правильной функцией) и удовлетворяет равенству
Инфимальная конволюция двух функций имеет геометрическую интерпретацию — (строгий) надграфик инфимальной конволюции двух функций равен сумме Минковского (строгих) надграфиков этих функций.
Максимизирующий аргумент Если функция дифференцируема, то её производная является максимизирующим аргументом при вычислении выпуклого сопряжения: и
откуда
и, более того,
Масштабирующие свойства Если для некоторого , то
В случае дополнительного параметра (скажем, ), более того,
где где выбирается максимизирующим аргументом.
Поведение при линейных преобразованиях Пусть A будет ограниченным линейным оператором из X в Y. Для любой выпуклой функции f на X, имеем
где
является прообразом f для A, а A* является сопряжённым оператором для A.
Замкнутая выпуклая функция f симметрична для заданного множества G ортогональных линейных преобразований
тогда и только тогда, когда выпуклое сопряжение f* симметрично для G.
Таблица некоторых выпуклых сопряжений Следующая таблица даёт преобразования Лежандра для многих часто употребимых функций, а также для нескольких полезных свойств.
(где ) (где ) (где ) (где ) (где ) (где )
См. также Двойственная задача Теорема двойственности Фенхеля Преобразование Лежандра Неравенство Юнга
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Выпуклый анализ Категория:Теории двойственности Категория:Преобразования