Теорема Колмогорова — Арнольда — утверждение анализа функций многих переменных, решающее (в более общем виде) тринадцатую проблему Гильберта: каждая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения. Установлена Владимиром Арнольдом в 1957 году на базе результата Колмогорова о представлении многомерной функции.
Для функции от переменных представление может иметь следующий вид: .
Результат можно рассматривать в том смысле, что единственная «истинная» функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с её помощью и функций одной переменной.
Уточнения и обобщения Вариант теоремы, который уменьшает количество внешних функции , принадлежит Джорджу Лоренцу (1962): внешние функции можно заменить на одну функцию , точнее говоря, установлено, что существуют функции , , такие, что:
.
Шпрехер заменил внутренние функции на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах и доказал, что существуют действительные значения , непрерывная функция и действительная возрастающая непрерывная функция с для такие, что: .
Филлип Остранд обобщил теорему на метрические пространства: для компактных метрических пространств конечной размерности () существует непрерывная функция и непрерывные функции такие, что любая непрерывная функция представима в виде:
Примечания
Литература
Категория:Теория приближений Категория:Функции Категория:Математические теоремы