Электромагнитная масса тела — это вклад электромагнитных взаимодействий в его инерцию. Это классическое понятие, впервые введённое в 1881 году Джозефом Дж. ТомсономJoseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), часть 6: J.J. Thomson and Electromagnetic Mass. Электромагнитная масса, как и индуктивность или сила Абрахама — Лоренца, представляет собой явление самовоздействия, поскольку заряженное тело взаимодействует с собственным электромагнитным полем. В Международной системе единиц (СИ) она выражается в килограммах (кг).
Физическое происхождение
До XIX века считалось, что масса тела (то есть его сопротивление ускорению) связана исключительно с количеством вещества, которое оно содержит. Однако законы классического электромагнетизма показывают, что два тела, содержащие одинаковое количество вещества, могут тем не менее обладать разной массой.
Демонстрация
Чтобы это проиллюстрировать, рассмотрим систему, состоящую из двух точечных электрических зарядов q1 и q2, разделённых расстоянием r.
Когда эта система покоится, взаимные электрические силы между двумя зарядами равны по величине и противоположны по направлению (закон Кулона), из чего следует, что их равнодействующая равна нулю.
Если теперь придать всей системе ускорение , направленное вправо (сохраняя расстояние r между зарядами постоянным), ситуация меняетсяDavid J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983): поскольку электрическое поле, создаваемое каждым зарядом, распространяется не мгновенно, а со скоростью света (c = 299 792 458 м/с), сила, испытываемая каждым зарядом, зависит уже не от текущего положения другого заряда, а от его запаздывающего положения (t' = t - r/c). В результате сила, действующая со стороны q2 на q1, становится немного больше силы, действующей со стороны q1 на q2. Этот дисбаланс приводит к возникновению суммарной силы Fсам, действующей на всю систему. В данном случае эта сила направлена влево и, следовательно, стремится противодействовать ускорению, .
Чтобы вычислить Fсам, необходимо вычислить электрическую силу, действующую со стороны каждого заряда на другой, учитывая эффекты запаздывания при распространении электрического поля. Для этого можно использовать соотношение F = q E и вычислить электрическое поле E, создаваемое каждым зарядом, с помощью модели Дарвина, которая позволяет приближённо выразить поля с точностью до порядка 1/c² в квазистационарном режимеJonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Швеция, 2006. Общее выражение поля E имеет вид:
где все указанные величины являются мгновенными (то есть рассматриваются в настоящий момент времени t). Первый член этого уравнения представляет собой кулоновское поле, а второй является поправочным членом, вызванным ускорением зарядов, который как раз и учитывает эффекты запаздывания.
Как упоминалось ранее, первый член (хотя и значительно превосходящий по величине второй) приводит к равным и противоположным силам. Второй же член, связанный с ускорением, порождает силы, которые не являются равными и противоположными. Вычисляя суммарную силу Fсам, действующую на систему, получаем:
Полученная суммарная сила пропорциональна и увеличивает сопротивление системы ускорению. Таким образом, можно считать (по определению), что она увеличивает массу системы, причём изменение массы Δm определяется (с использованием второго закона Ньютона) выражением:
Называя это изменение массы «электромагнитной массой взаимодействия» двух зарядов, получаем:
Отметим, что если заряды q1 и q2 одного знака, полученная электромагнитная масса положительна (говорят об избытке массы), тогда как если заряды q1 и q2 противоположны по знаку, электромагнитная масса отрицательна (говорят о дефекте массы).
Обозначив через m1 массу заряда q1, через m2 массу заряда q2, а через Mполн полную массу системы {q1+q2}, окончательно получаем:
Вывод: Законы классического электромагнетизма показывают, что взаимодействие на расстоянии между заряженными частицами может влиять на суммарную массу системы, а значит, инерция тела зависит не только от количества вещества, которое оно содержит. Возникновение массы взаимодействия обусловлено конечностью скорости распространения полей в пространстве (c). Так, например, заряженный конденсатор будет более массивным, чем тот же конденсатор в незаряженном состоянии, даже если оба состоят из одинакового числа частиц и не происходило обмена веществом с окружающей средой.
В конце XIX века некоторые физики даже выдвигали идею о том, что «механической» массы не существует и что 100 % массы тел на самом деле имеет электромагнитное происхождение. Однако такая гипотеза требует, например, рассматривать электрон и другие элементарные частицы как сферическое распределение заряда, что невозможно допустить без детального знания внутренней структуры этих частиц. Кроме того, сегодня известно, что другие взаимодействия природы, такие как гравитация и сильное взаимодействие, также могут влиять на массу тел (примером тому служат ядерные дефекты массы).
Поперечная ориентация
Рассматривая теперь ситуацию, в которой ускорение системы двух точечных зарядов перпендикулярно оси, соединяющей заряды (θ = 90°), для силы самовоздействия получаемTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978):
откуда следует:
Полученная масса взаимодействия вдвое меньше, чем в продольном случае.
Чтобы качественно понять возникновение этой силы самовоздействия в поперечной конфигурации, можно перейти в ускоренную систему отсчёта двух зарядов и рассмотреть, что линии электростатического поля будут в ней казаться искривлённымиMaria Becker, Adam Caprez, Herman Batelaan, On the Classical Coupling between Gravity and Electromagnetism, Atoms, 2015, подобно траектории теннисного мяча в гравитационном поле. Таким образом, каждый заряд будет испытывать очень небольшую составляющую электрической силы, направленную противоположно ускорению, причём Ex ~ Ey·(a r / c²) (согласно принципу эквивалентности общей теории относительности, линии электростатического поля точно так же искривлены и для покоящегося заряда в гравитационном полеTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to a gravitational mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 47 (1979) 129-131). Если заряды противоположны по знаку, сила самовоздействия будет направлена в ту же сторону, что и .
Произвольная ориентация
Если ось пары зарядов образует произвольный угол θ с вектором ускорения , электромагнитная масса взаимодействия двух зарядов равна:
причём множитель (1 + cos² θ) может изменяться от 1 до 2.
Возникновение силы, перпендикулярной ускорению
Когда θ не равно ни 0°, ни 90°, помимо силы, коллинеарной ускорению, возникает также сила самовоздействия, перпендикулярная ускорению ():
Однако только можно считать вкладом в инерцию системы. Напомним:
максимальна при θ = 45°. В этом можно убедиться, используя тригонометрическое тождество:
sin(2θ) максимален при θ = 45°.
Электромагнитная масса заряженной сферы
Рассмотрим сферу радиусом R.
Сфера, равномерно заряженная по объёму
Если сфера несёт равномерную объёмную плотность заряда ρ по всему своему объёму, мы можем вычислить её электромагнитную массу, интегрируя силы взаимного взаимодействия между всеми бесконечно малыми парами зарядов. Электромагнитная масса такой заряженной сферы определяется выражением:
Тот же результат можно выразить через полный заряд Q, находящийся на сфере:
Сфера, равномерно заряженная по поверхности
Рассмотрим теперь случай, когда сфера заряжена по поверхности с равномерной поверхностной плотностью заряда σ. В этом случае получаемDavid J. Griffiths, Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum, Am. J. Phys. 80, 7–18 (2012):
или,
Примеры
Дефект массы атома водорода
Атом водорода состоит из двух частиц с противоположными электрическими зарядами (протона и электрона), находящихся во взаимодействии.
Массы изолированных протона и электрона соответственно равны:
Если вычислить сумму этих двух масс, получим:
Однако реальная (экспериментальная) масса атома водорода равна:
Таким образом:
Разница между двумя массами (дефект массы) составляет:
Этот дефект массы представляет собой в точности электромагнитную массу взаимодействия (в данном случае отрицательную) между протоном и электроном. Она примерно в 100 миллионов раз меньше полной массы атома водорода.
Связь с другими физическими величинами
Связь между электромагнитной массой и импульсом поля
Помимо использования соотношения m=F/a, существуют и другие методы вычисления электромагнитной массы системы; один из них заключается в вычислении импульса электромагнитного поля для произвольной скорости , а затем в использовании соотношения m=p/v. Импульс электромагнитного поля определяется выражением:
Для двух связанных взаимодействующих тел 1 и 2 имеем:
и
откуда следует:
Из четырёх полученных членов первые два соответствуют индивидуальным электромагнитным массам тел 1 и 2. Если требуется вычислить только электромагнитную массу взаимодействия между 1 и 2, следует учитывать лишь два последних члена.
Этот метод вычисления электромагнитной массы во всех ситуациях приводит в точности к тем же результатам, что и метод m=F/a (оба метода следуют из уравнений Максвелла и силы Лоренца).
Связь с магнитной энергией
Третий метод заключается в вычислении, для скорости , энергии Um, накопленной в магнитном поле системы, а затем в использовании соотношения m=2Um/v². Действительно, движущееся заряженное тело накапливает и запасает энергию (в магнитной форме) точно так же, как движущееся массивное тело накапливает кинетическую энергию (масса связана с кинетической энергией соотношением m=2Eк/v²).
Магнитная энергия Um, накопленная движущимся заряженным телом, согласно теореме Пойнтинга, равна:
Поскольку магнитное поле B, создаваемое телом, согласно закону Био — Савара, пропорционально его скорости, квадрат магнитного поля пропорционален квадрату скорости, что позволяет получить величину, размерность которой соответствует массе (m=2Um/v²).
Для двух связанных взаимодействующих тел 1 и 2 имеем:
откуда следует:
Из трёх полученных членов первые два соответствуют индивидуальным электромагнитным массам тел 1 и 2. Если требуется вычислить только электромагнитную массу взаимодействия между 1 и 2, следует учитывать лишь последний член. В этом случае получаем:
Связь с электростатической потенциальной энергией и формулой E=mc²
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 определяется выражением:
Согласно приведённым выше результатам для электромагнитной массы взаимодействия, для системы двух зарядов, расположенных на оси, коллинеарной вектору ускорения (θ = 0°), получаем:
Если ось, на которой расположены заряды, перпендикулярна вектору ускорения (θ = 90°), получаем:
Таким образом, поперечный случай согласуется с общим соотношением Альберта Эйнштейна, связывающим массу и энергию (E=mc²), тогда как продольный случай отличается от этой формулы в 2 раза. Таким образом, оказывается, что соотношение m=E/c² даёт для электромагнитной массы результаты, которые иногда расходятся с тремя другими методами вычисления (m=F/a, m=p/v и m=2Um/v²).
Проблема 4/3
Если рассмотреть сферическое распределение заряда (независимо от того, распределён ли заряд по поверхности сферы или по её объёму), всегда получаетсяФейнмановские лекции по физике, том 6, гл. 28: Электромагнитная масса:
Это расхождение между результатами двух расчётов (E=mc² и электромагнитной теорией) породило многочисленные дискуссии начиная с начала XX века. Оно получило название парадокса 4/3.
Натяжения Пуанкаре