Задача Куратовского — классическое упражнение в общей топологии, основанное на результате Казимира Куратовского.
Формулировки
Оригинальная Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и дополнения.
Вариация
Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и внутренности.
Решение
Ответы в задачах соответственно 14 и 7. В обоих формулировках, максимальное число подмножеств достигается для следующего подмножества вещественной прямой с обычной топологией:
Для второй формулировки, максимальность следует из соотношений на замыкание и внутренность
Последние два тождества легко следуют из первых двух и следующих двух соотношений: если , то и .
Поскольку , то есть дополнение внутренности равно замыканию дополнения, максимальность в обоих формулировках эквивалентна.
Рекомендации
Литература B. J. Gardner et Marcel Jackson, « The Kuratowski Closure-Complement Theorem » Mark Bowron « The Kuratowski Closure-Complement Problem » « Theorem of the day »
Категория:Математические задачи Категория:Общая топология