Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.
Например, в функции при стремлении к бесконечности слагаемое становится пренебрежимо малым по сравнению с , поэтому про функцию говорят, что она «асимптотически эквивалентна при », что зачастую также записывают как . Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны , тогда теорема может быть сформулирована как .
Асимптотическое равенство
Пусть и — некоторые функции. Тогда бинарное отношение определяется таким образом, что
если и только если
Функции и при этом называются асимптотически эквивалентными, так как является отношением эквивалентности для функций над . Областью определения и при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на , таких как . Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.
Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если принимает значение бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:
Данное определение эквивалентно приведённому выше если отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки.
Свойства Если и , то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:
, для любого вещественного
Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.
Примеры асимптотических формул Формула Стирлинга для факториалов
Количество способов разбить натуральное число в неупорядоченную сумму натуральных чисел
Функция Эйри — решение дифференциального уравнения
Функции Ганкеля
Асимптотическое разложение
Асимптотическим разложением функции называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку . Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста . Другими словами, если — асимптотическое разложение , то и, в общем случае, для любого . В соответствии с определением это значит, что , то есть, растёт асимптотически значительно медленнее
Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.
Примеры асимптотических разложений Гамма-функция
Интегральная экспонента
Функция ошибок
где — двойной факториал.
Применения Асимптотический анализ используется:
В прикладной математике для построения численных методов решения уравнений. В математической статистике и теории вероятностей для определения предельных свойств случайных величин и статистических оценок. В информатике при анализе алгоритмов и их времени работы. В статистической физике при анализе поведения физических систем. В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.
Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мираHowison, S. (2005), Practical Applied Mathematics , Cambridge University Press. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.
Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.
См. также Асимптота Асимптотическая плотность (в теории чисел) «O» большое и «o» малое Асимптотически достоверное событие
Примечания
Литература
Ссылки Asymptotic Analysis — home page of the journal, which is published by IOS Press A paper on time series analysis using asymptotic distribution
Категория:Математика