Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.
Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.
Определение Объект в категории называется проективным если для произвольного эпиморфизма и морфизма существует морфизм для которого , то есть диаграмма:
коммутативна.
Свойства В локально малой категории , объект является проективным только если функтор
сохраняет эпиморфизмы.
Пусть — локально малая абелева категория. В этом случае объект является проективным объектом если
является точным функтором, где является категорией абелевых групп.
Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом. Ретракт проективного объекта является проективным.
Примеры Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.
Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.
Пусть — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию левых -модулей. Проективными объектами в являются проективные левые R-модули. В частности является проективным объектом в
Примечания
Категория:Теория категорий Категория:Гомологическая алгебра