Пусть — произвольное множество, — метрическое пространство, — последовательность функций. Говорят, что последовательность равномерно сходится к функции , если для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство
Обычно обозначается .
Это условие равносильно тому, что
Свойства Если — линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , равномерно сходятся на множестве , то последовательности и при любых также равномерно сходятся на .
Для вещественнозначных функций (или, более общо, если — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений , равномерно сходится на множестве и ограниченное отображение, то последовательность также равномерно сходится на .
Если — топологическое пространство, — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно сходится на множестве к отображению , то это отображение также непрерывно в точке .
Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций равномерно сходится на отрезке к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство и сходимость последовательности функций на отрезке к функции равномерна.
Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , сходится в некоторой точке , a последовательность их производных равномерно сходится на , то последовательность также равномерно сходится на , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.
Примечания
Литература Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977. Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981. Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
Категория:Сходимость последовательностей функций