Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.
Формулировка
Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине треугольника пересекает сторону в точке то
Замечания То же равенство выполняется и для точки лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны .
История Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III), в частности, на греческом языке в византийском манускрипте. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная № 42» (книга 1, часть 2, глава 21).
Доказательства Существует несколько методов доказательства. Например, методом площадей или проведением из другой вершины прямой, параллельной биссектрисе, до ее пересечения с продолжением одной из сторон.
Метод площадей Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:
С другой стороны,
Значит,
Через теорему синусов Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:
Но следовательно,
Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:
Через подобие треугольников Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.
Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и TCD подобны по двум углам, значит,
Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:
Отсюда получаем, что
Вариации и обобщения Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда
В случае, когда AD — биссектриса, .
Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла.
Теорема Штейнера.
См. также Антибиссектриса Биссектриса Высота (геометрия) Высота треугольника Инцентр Медиана треугольника Симедиана Ось внешних биссектрис или антиортовая ось Треугольник Треугольник трёх внешних биссектрис Ось внешних биссектрис или антиортовая ось Центроид Чевиана
Примечания
Литература
Категория:Теоремы планиметрии Категория:Геометрия треугольника