Букет окружностей (известный также как роза) — это топологическое пространство, полученное путём склеивания набора окружностей вокруг одной точки. Окружности букета иногда называются лепестками розы. Букеты окружностей важны в алгебраической топологии, где они тесно связаны со свободными группами.
Определение
Букет окружностей является частным случаем букета пространств. То есть букет окружностей является факторпространством C/S, где C является несвязным объединением окружностей по множеству S, состоящему по одной точке из каждой окружности. Как клеточный комплекс букет окружностей имеет одну вершину и по одному ребру для каждой окружности. Это делает его простым примером топологического графа.
Букет из n окружностей может быть получена также путём отождествления n точек одной окружности. Букет из двух окружностей называется восьмёркой.
Связь со свободными группами
Фундаментальная группа букета окружностей является свободной с одним генератором для каждого лепестка. Универсальное накрытие является бесконечным деревом, которое может быть отождествлён с графом Кэли свободной группы. (Это специальный случай , ассоциированного с любым заданием группы.)
Промежуточные накрытия букета окружностей соответствуют подгруппам свободной группы. Наблюдение, что любое накрытие букета окружностей является графом, даёт простое доказательство, что любая подгруппа свободной группы свободна ().
Поскольку универсальное накрытие букета окружностей стягиваемо, букет окружностей является пространством Эйленберга — Маклейна типа для ассоциированной свободной группы . Из этого следует, что тривиальна для .
Другие свойства
Любой связный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей. В частности, букет окружностей является факторпространством графа, полученного путём стягивания остовного дерева. Шар с удалёнными n точками (или сфера с удалёнными точками) является деформационным ретрактом в букет окружностей с n лепестками. Одна из окружностей букета окружает каждую из удалённых точек. Тор с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в восьмёрку, а именно объединением двух генерирующих окружностей. Более обще, поверхность рода g с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в букет окружностей с 2g лепестками, а именно в границу . Букет окружностей может иметь бесконечно много лепестков, что приводит к фундаментальной группе, которая свободна на бесконечно большом числе генераторов. Букет из счётного числа окружностей подобен гавайской серьге — имеется непрерывная биекция из букета окружностей в гавайскую серьгу, но они не гомеоморфны.
См. также
Квадрифолий (четырёхлистник) Свободная группа Топологический граф
Примечания
Литература
Категория:Топологические пространства Категория:Алгебраическая топология