Правильная карта — это симметричное замощение замкнутой поверхности. Более точно, правильная карта — это двумерного многообразия (такого как сфера, тор или вещественная проективная плоскость) на топологические диски, так что каждый флаг (инцидентная тройка вершина-ребро-грань) может быть переведён в любой другой флаг преобразованием симметрии разложения. Правильные карты являются в некотором смысле топологическим обобщением правильных многогранников. Теория карт и их классификация связана с теориями римановых поверхностей, геометрии Лобачевского и теории Галуа. Правильные карты классифицируются по их роду ориентируемости соответствующей поверхности, по основному графу или автоморфизму группы.

Обзор

Правильные карты обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, с точки зрения теории групп и теории графов.

Топологический подход С точки зрения топологии карта является 2-ячейным разложением замкнутого компактного 2-многообразия.

Род g карты M задаётся соотношением Эйлера , что равно , если карта ориентируема, и , если карта неориентируема. Критическим обстоятельством является факт, что имеется конечное (ненулевое) число правильных карт для любого ориентируемого рода, за исключением тора.

Подход теории групп С точки зрения теории групп перестановки представления правильной карты M являются транзитивной группой перестановок C на множестве флагов, порождённой свободными инволюциями с тремя фиксированными точками , удовлетворяющими условию . В этом определении гранями являются орбиты , рёбрами являются орбиты , а вершинами являются орбиты . Более абстрактно, автоморфизм группы любой правильной карты является невырожденным гомоморфным образом группы треугольника <2,m, n>.

Подход теории графов С точки зрения теории графов карта есть кубический граф с рёбрами, выкрашенными в синий, жёлтый и красный цвета так, что связен, каждая вершина инцидентна с рёбрами каждого цвета, а циклы рёбер, не окрашенных в жёлтый цвет, имеют длину 4. Заметим, что является плоским графом или (, GEM) карты, определёнными на множестве флагов в качестве вершин и не являющимися остовом G=(V, E) карты. В общем случае .

Карта M правильна тогда и только тогда, когда Aut(M) действует регулярно на флаги. Aut(M) правильной карты транзитивна на вершинах, рёбрах и гранях карты M. Говорят, что карта M зеркально симметрична в том и только в том случае, когда Aut(M) правильна и содержит автоморфизм , который фиксирует как вершиныv, так и грани f, но обращает направление рёбер. Говорят, что правильная карта, не являющаяся зеркально симметричной, хиральна.

Примеры

Большой додекаэдр является правильной картой с пятиугольными гранями на ориентируемой поверхности рода 4. является правильной картой типа {4,3} на проективной плоскости. Полудодекаэдр является правильной картой, порождённой пятиугольным вложением графа Петерсена в проективную плоскость. p-Осоэдр является правильной картой типа {2,p}. Заметим, что осоэдры в этом смысле не являются абстрактными многогранниками. В частности, они не удовлетворяют свойству алмаза (). Карта Дика является правильной картой из 12 октаэдров на поверхности рода 3. Лежащий в её основе граф Дика, может также образовать правильную карту из 16 шестиугольников на торе.

В таблице ниже приведён полный список правильных карт на поверхностях с положительной эйлеровой характеристикой, χ — сфере и проективной плоскости.

χgШлефлиВершинРёберГранейГруппаПорядокГрафПримечания20{p, 2}pp2C2 × Dihp4pCpДиэдр20{2,p}2ppC2 × Dihp4pp-кратный K2Осоэдр20{3,3}464S424K4Тетраэдр20{4,3}8126C2 × S448K4 × K2Куб20{3,4}6128C2 × S448K2,2,2Октаэдр20{5,3}203012C2 × A5120Додекаэдр20{3,5}123020C2 × A5120K6 × K2Икосаэдр1n1{2p,2}/2pp1Dih2p4pCpПолудиэдр1n1{2,2p}/22ppDih2p4pp-кратный K2Полуосоэдр1n1{4,3}/2463S424K41n1{3,4}/2364S4242-кратный K31n1{5,3}/210156A560Граф ПетерсенаПолудодекаэдр1n1{3,5}/261510A560K6Полуикосаэдр

Изображения ниже показывают три из 20 правильных карт в с их символами Шлефли.

Тороидальные многогранники + Примеры в виде мозаики{4,4}1,0(v: 1, e: 2, f:1){4,4}1,1(v:2, e:4, f:2){4,4}2,0(v:4, e:8, f:4){4,4}2,1(v:5, e:10, f:5){4,4}2,2(v:8, e:16, f:8){3,6}1,0(v:1, e:3, f:2){3,6}1,1(v:3, e:9, f:6){3,6}2,0(v:4, e:8, f:8){3,6}2,1(v:7, e:21, f:14){3,6}2,2(v:12, e:36, f:24){6,3}1,0(v:2, e:3, f:1){6,3}1,1(v:6, e:9, f:3){6,3}2,0(v:8, e:8, f:4){6,3}2,1(v:14, e:21, f:7){6,3}2,2(v:24, e:36, f:12)

Правильные карты существуют как тороидальные многогранники в виде конечных порций евклидовых мозаик, завёрнутых в поверхность дуоцилиндра как плоского тора. Они помечены как {4,4}b,c, когда они связаны с квадратной мозаикой {4,4}, как , когда они связаны с треугольной мозаикой {3,6}, и как {6,3}b,c, когда связаны с шестиугольной мозаикой {6,3}. Индексы b и c являются целыми числами . Имеется 2 специальных случая (b,0) и (b,b) с зеркальной симметрией, хотя общие случаи существуют в хиральных парах (b,c) и (c,b).

Правильные карты вида {4,4}m,0 могут быть представлены как конечные правильные косые многогранники {4,4|m}, понимаемые как квадратные грани m×m дуопризмы в размерности 4.

Ниже приведён пример {4,4}8,0, отображённый из плоского листа в виде шахматной доски в цилиндр, а затем в тор. Проекция из цилиндра в тор искажает геометрию в трёхмерном пространстве, но может быть осуществлена без искажения в четырёхмерном.

+ Правильные карты с нулевой эйлеровой характеристикойχgШлефлиВершинРёберГранейГруппаПорядокПримечания01{4,4}b,0n=b2n2nn[4,4](b,0)8nПлоский тороидальный многогранникТо же, что и {4,4 | b}01{4,4}b,bn=2b2n2nn[4,4](b,b)8nПлоский тороидальный многогранник То же, что и полноусечённый {4,4 | b}01{4,4}b,cn=b2+c2n2nn[4,4]4nПлоский хиральный тороидальный многогранник01{3,6}b,0t=b2t3t2t[3,6](b,0)12tПлоский тороидальный многогранник01{3,6}b,bt=2b2t3t2t[3,6](b,b)12tПлоский тороидальный многогранник01{3,6}b,ct=b2+bc+c2t3t2t[3,6]6t Плоский хиральный тороидальный многогранник01{6,3}b,0t=b22t3tt[3,6](b,0)12t Плоский тороидальный многогранник01{6,3}b,bt=2b22t3tt[3,6](b,b)12t Плоский тороидальный многогранник01{6,3}b,ct=b2+bc+c22t3tt[3,6]6t Плоский хиральный тороидальный многогранник В общем случае правильный тороидальный многогранник {p,q}b,c можно определить, если p или q чётные, хотя только один евклидов выше может существовать как тороидальный многогранник в размерности 4. В случае {2p,q} пути (b,c) можно определить как грань-ребро-грань на прямой, в то время как в двойственных {p,2q} формах пути (b,c) можно рассматривать как вершина-ребро-вершина.

См. также Топологическая теория графов Абстрактный многогранник Планарный граф Тороидальный граф Вложение графа Правильная мозаика Правильный многогранник

Примечания

Литература

Перевод:

Категория:Топологическая теория графов Категория:Комбинаторная геометрия