Задача Томсона состоит в нахождении конфигурации с минимальной полной потенциальной энергией электростатического заряда для N электронов, на единичной сфере, которые отталкиваются друг от согласно закону Кулона. Задача поставлена Дж. Дж. Томсоном в 1904 году после того, как он предложил модель атома, позже названную моделью Томсона, основанную на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов в нейтрально заряженных атомах.
Связанные задачи включают изучение геометрии конфигурации минимальной энергии и нахождения минимальной энергии при больших N.
Математическая формулировка
Физическая система, воплощённая в задаче Томсона, связана одной из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенных математиком Стивеном Смейлом — «Распределение точек на сфере» (задача № 7). Решение каждой проблемы N электронов получается, когда конфигурация N электронов, ограниченная поверхностью сферы единичного радиуса, r = 1, даёт глобальный минимум электростатической потенциальной энергии U(N).
Энергия электростатического взаимодействия, возникающая между каждой парой электронов равных зарядов (, элементарный заряд электрона), определяется законом Кулона:
Здесь — постоянная Кулона и расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами и соответственно.
Упрощенные единицы и используются без потери основного смысла. В таком случае,
Полная потенциальная энергия электростатического заряда каждой конфигурации N-электронов может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий.
Глобальный минимум электростатической энергии по всем возможным наборам из N различных точек обычно находят с помощью методов и алгоритмов численной минимизации.
Пример Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга на противоположных сторонах начала координат, , или
Известные решения
Конфигурации с минимальной энергией были строго математически определены только в нескольких случаях.
При N = 1 решение тривиально, так как электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, так как электрон не подвергается воздействию электрического поля от других зарядов. При N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в антиподальных точках. При N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг большой окружности . При N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра. Для N = 5 в 2010 году было получено математически строгое компьютерное решение с электронами, находящимися в вершинах треугольной бипирамиды. При N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра. При N = 12 электронов находятся в вершинах правильного икосаэдра.
Примечательно, что решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов образуют тела Платона, грани которых являются равными равносторонними треугольниками, при этом заряды находятся в вершинах платонового многогранника. Конфигурации численных решений для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранниками оставшихся двух платоновых тел, грани которых являются квадратными и пятиугольными, соответственно, это куб и додекаэдр.
Обобщения Можно также запросить основные состояния частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей вещественной функцией. Определим энергетическую функцию
Традиционно считается также известная как ядро Рисса. Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о бублике с маком. Известные случаи включают α = ∞, проблему Таммеса ; α = 1, проблема Томсона; α = 0, задача Уайта (максимизировать произведение расстояний).
Отношения к другим научным проблемам Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Томсона в отсутствие её равномерного положительного фонового заряда.«Ни один факт, обнаруженный об атоме, не может быть тривиальным и не может ускорить прогресс физической науки, так как большая часть естественной философии является результатом структуры и механизма атома».Хотя экспериментальные данные привели к отказу от томсоновской модели пудинга в качестве полной модели атома, было обнаружено, что неоднородности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют наполнению электронной оболочки естественными атомами по всей периодической таблице элементов.
Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузырьки и упорядочение поверхности жидких металлических капель, заключенных в ловушках Пола .
Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, которые составляют оболочки сферических вирусов . «Частицы» в данном случае представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие примеры включают в себя регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предлагаемых для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарственные средства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теория отталкивания электронных пар. Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова, которые образовались бы при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим электромагнитным полем в центре.
Известные конфигурации с наименьшей энергией В следующей таблице — количество точек (зарядов) в конфигурации, — энергия, тип симметрии указан в нотации Шёнфлиса (см. Точечные группы в трёх измерениях), — позиции зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент) была равна нулю.
Принято также учитывать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, — число вершин, где встречается данное число рёбер, — общее количество рёбер, — количество треугольных граней, — четырёхугольных граней, и — наименьший угол, представленный векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины рёбер обычно не равны; таким образом (за исключением случаев N = 4, 6, 12, 24) выпуклая оболочка только топологически эквивалентна однородному многограннику или телу Джонсона. Вторые перечислены в последнем столбце.