Пространство Эйленберга — Маклейна (или пространство типа ) — топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой в размерности .
Для заданной группы и положительного целого числа линейно связное топологическое пространство называется пространством Эйленберга — Маклейна типа , если оно имеет -ю гомотопическую группу , изоморфную , а все остальные гомотопические группы тривиальны. Если , то необходимо предположить, что коммутативна.
Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.
При данных и , пример -пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из -мерных сфер, по одной на каждую образующую группы , и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности .
Примеры Окружность является пространством.
Бесконечномерное вещественное проективное пространство является пространством.
Сумма букет окружностей это для — свободная группа с образующими.
Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере является -пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.
Асферическое пространство — -пространство.
Любое компактное связное неположительной секционной кривизны многообразие является , где является фундаментальной группой . То же верно для локально-CAT(0)-пространств.
Бесконечномерное комплексное проективное пространство является -пространством. Его кольцо когомологий а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.
Свойства Пространство Эйленберга — Маклейна типа единственненно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.
Произведение - и -пространств является -пространством.
Для -пространства и произвольного CW-комплекса для множества гомотопических классов отображений существует естественная биекция с группой когомологий . Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.
Пространство петель пространства пространства является -пространством.
См. также Гомологическая сфера
Литература
Категория:Теория гомотопий Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами