Формула Сантало́ — следствие теоремы Лиувилля о сохранении фазового объёма применяемая для интегрирования функций заданных на расслоении единичных сфер риманова многообразия. А именно она даёт возможность сначала интегрировать по каждой геодезической отдельно, а затем по пространству всех геодезических.
Этот инструмент используется при доказательстве изопериметрических неравенств,Croke, Christopher B. "A sharp four dimensional isoperimetric inequality." Commentarii Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192. а также результатов жёсткости.Ilmavirta, Joonas, and François Monard. "4 Integral geometry on manifolds with boundary and applications." The Radon Transform: The First 100 Years and Beyond 22 (2019): 43.
Формула названа в честь Луиса Сантало, который доказал её в 1952 году.Santaló, Luis Antonio. Measure of sets of geodesics in a Riemannian space and applications to integral formulas in elliptic and hyperbolic spaces. 1952Santaló, Luis A. Integral geometry and geometric probability. Cambridge university press, 2004
Формулировка Пусть — компактное, ориентированное риманово многообразие с краем . Предположим, что длины геодезических в ограничены, то есть любая геодезическая выходит на границу за определённое время. Пусть обозначает геодезический поток на расслоении единичных сфер . Тогда
для любой интегрируемой функции на . При этом мы предполагаем, что — угол между и направленной внутрь нормалью к в базовой точке вектора то есть вектора с базовой точкой на границе направленного внутрь . а также являются римановыми формами объема относительно метрики Сасаки на и . обозначает время выхода геодезической с начальными условиями ; то есть
См. также
Преобразование Радона Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма Формула Крофтона
Примечания
Ссылки
Сергей Иванов,
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Интегральная геометрия Категория:Дифференциальная геометрия и топология